Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

функции на левом, правом концах или посредине, то получа-
ется соответственно формулы (10),(11) и (12), а если взять по-
лусумму значений на концах, то получится формула трапеций
(13). Таким образом, окончательно получается приближенные
формулы:
Z
b
a
f(x) dx ≈
b − a
n
n−1
X
k=0
f(a + hk), (15)
Z
b
a
f(x) dx ≈
b − a
n
n
X
k=1
f(a + hk), (16)
Z
b
a
f(x) dx ≈
b − a
n
n
X
k=1
f
a + h
k −
1
2

, (17)
Z
b
a
f(x) dx ≈
b − a
n
"
f(a) + f(b)
2
+
n−1
X
k=1
f(a + hk)
#
. (18)
Можно показать, что при достаточно гладкой f(x) (имеющей
вторую производную) точность полученных формул обратно
пропорциональна n
2
.
6.3. Формула парабол (Симпсона)
Выберем четные n = 2m (m ∈ N) и разобьем, как и ранее,
промежуток [a, b] на n равных частей точками x
k
= a+n k, где
h =
b − a
k
, k = 0, . . . , n. При этом вся криволинейная трапеция
разобъется на 2m полосок, которые попарно объединим, так
что получится m двойных полосок (рис. 9,б ).
Построим параболу второй степени, проходящую через точ-
ки A
2k−2
, A
2k−1
, A
2k
, и для приближенного выражения инте-
грал
Z
x
2k
x
2
k−2
f(x) dx заменим на этом промежутке f(x ) на соот-
ветствующий квадратный трехчлен (правую часть уравнения
параболы). Применяя этот прием для каждой сдвоенной по-
лоски, получим приближенную формулу, которую и называют
обычно формулой парабол.

Страницы