Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Для упрощения вычислений сделаем параллельный пере-
нос, при котором начало координат переносится в точку (x
2k−1
, 0).
При этом точки A
2k−2
, A
2k−1
, A
2k
будут им еть координаты
(−h, y
2k−2
), (0, y
2k−1
), (h, y
2
). Если уравнение иском ой пара-
болы
y = a + bx + cx
2
, (19)
то условие, что парабола (19) проходит через три данные точки
y
2k−2
= a − bh + ch
2
y
2k−1
= a
y
2k
= a + bh + ch
2
.
(20)
Вычислим интеграл для параболы (19)
Z
h
−h
(a + bx + cx
2
) dx = 2ah +
2
3
ch
3
=
h
3
(6a + 2ch
2
).
Используя систему (20) для нахождения 6a + 2ch
2
, имеем 6a +
2ch
2
= y
2k−2
+ 4y
2k−1
+ y
2k
, и, возвращаясь к первоначальным
обозначения, получим
Z
x
2k
x
2k−2
f(x) dx ≈
h
3
(y
2k−2
+ 4y
2k−1
+ y
2k
).
И, окончательно,
Z
b
a
f(x) dx =
m
X
k=1
Z
x
2k
x
2k−2
f(x) dx ≈
h
3
m
X
k=1
(y
2k−2
+ 4y
2k−1
+ y
2k
).
Формула парабол окончательно приобретает вид
Z
b
a
f(x) dx =
b − a
6m
"
f(a) + f(b) + 2
m
X
k=1
f(a + 2hk) + 4
m
X
k=1
(a + h(2k − 1))
#
.
Полученная формула более сложная по сравнению с формула-
ми (15)–(18), но она имеет большую точность: если f(x) имеет
ограниченную четвертую производную, то точность формулы
парабол обратно пропорциональна n
4
.

Страницы