Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

•
•
S
2+
S
2
•
A
P
k+1
= P
k
− β
k
MG(P
k
)
β G(P
k
) M
M
D(P ) G P P
0
G(P
0
) = 0
k P
k
P
0
M, D
β P
0
kP
k+1
− P
0
k = kP
k+1
− P
0
− β
k
MG(P
k
)k = kP
k+1
− P
0
− β
k
M(G(P
k
) − G(P
0
))k =
kP
k+1
− P
0
− β
k
MD(P
k
)(P
k
− P
0
)k = k(I − β
k
MD(P
tk
))(P
k
− P
0
)k
P
tk
= P
0
+ t(P
k
− P
0
), 0 ≤ t ≤ 1,
I
k(I − β
k
MD)(P
k
− P
0
)k ≤ kP
k
− P
0
kkI − β
k
MDk
kI − β
k
MDk = max
i
|1 − β
k
µ
ik
| = q
k
,
µ
ik
M D
q
k
1 − β
k
µ
min
= −(1 − β
k
µ
max
)
   • Ïîëîæèòåëüíàÿ-îïðåäåëåííîñòü ÌÍÊ-ìàòðèöû - ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî â
     Íüþòîíîâñêîì ïðîöåññå. Îí, ïðàâäà, ãàðàíòèðóåò ëèøü äîñòèæåíèå ëîêàëüíîãî
     ìèíèìóìà.
                 S 2+
   • Îòíîøåíèå    S2
                      .   Äîëæíî áûòü ðàâíî 1/2 (èäåàëüíûé ñëó÷àé).

   • Ãðàôèêà ñîâìåùåííûõ èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîäîãíàííîãî.

   Óïðîùåíèå íåëèíåéíîé ïàðàìåòðèçàöèè. Íåîáõîäèìîñòü ïðîâåäåíèÿ
ðàçëè÷íûõ ìàíèïóëÿöèé ñ ìíê-ìàòðèöåé ñòàâÿò âîïðîñ: åñëè ìàòðèöà A
ïðåîáðàçóåòñÿ (íàïðèìåð, äåìïôèðóåòñÿ), ñîõðàíÿåò ëè èòåðàöèîííûé ìíê-ïðîöåññ
òåì íå ìåíåå ñâîå ñâîéñòâî ñõîäèìîñòè?
Çàïèøåì ýòîò ïðîöåññ òàê:

                                  Pk+1 = Pk − βk M G(Pk )                         (6)

Çäåñü ñêàëÿð β ýòî øàã, G(Pk ) - ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà (4) è M - ïðîèçâîëüíàÿ
ìàòðèöà.
Ìû ìîæåì çäåñü äîêàçàòü âåñüìà îáùóþ òåîðåìó, ÷òî ïðîöåññ òèïà (6)
ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðàòåãèè ìèíèìèçàöèè ñõîäèòñÿ ñ ëþáîé ïîëîæèòåëüíî-
îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé M .
Êà÷åñòâåííî ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñàìî
íàïðàâëåíèå ìèíèìèçàöèè (ãåîìåòðè÷åñêè, íàïðàâëåíèå ñïóñêà) îïðåäåëÿåòñÿ ìíê-
âåêòîðîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ àíòèãðàäèåíòîì ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà (4), è,
ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà íå ïîâîðà÷èâàåò àíòèãðàäèåíò íà óãîë
îò 90 ãðàäóñîâ è âûøå, äîñòàòî÷íî ìàëûé øàã â íàïðàâëåíèè ýòîãî àíòèãðàäèåíòà
âåäåò ê óìåíüøåíèþ ôóíêöèîíàëà. Ïîëîæèòåëüíî - îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà êàê ðàç
è îñóùåñòâëÿåò òàêîé ïîâîðîò, íå ïðåâûøàþùèé 90 ãðàäóñîâ.
Ïóñòü D(P ) ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïðîèçâîäíûõ ãðàäèåíòà G â òî÷êå P , à P0 òî÷êà, ãäå
(4) äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà. Î÷åâèäíî, ÷òî G(P0 ) = 0.
Òåîðåìà Åñëè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî k , Pk îêàçûâàåòñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè
P0 , ãäå ìàòðèöû M, D ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè, òî, âûáèðàÿ
ñîîòâåòñòâóþùèå øàãè β , ìû ìîæåì äîáèòüñÿ ñõîäèìîñòè ïðîöåññà (6) ê P0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû èìååì

  kPk+1 − P0 k = kPk+1 − P0 − βk M G(Pk )k = kPk+1 − P0 − βk M (G(Pk ) − G(P0 ))k =

         kPk+1 − P0 − βk M D(Pk )(Pk − P0 )k = k(I − βk M D(Ptk ))(Pk − P0 )k
Çäåñü Ptk = P0 + t(Pk − P0 ), 0 ≤ t ≤ 1, è ìû èñïîëüçîâàëè òåîðåìó î ñðåäíåì
çíà÷åíèè, à I ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Äàëåå

                 k(I − βk M D)(Pk − P0 )k ≤ kPk − P0 kkI − βk M Dk

                           kI − βk M Dk = maxi |1 − βk µik | = qk ,
ãäå µik ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ïðîèçâåäåíèÿ M è D.
Î÷åâèäíî, ÷òî qk áóäåò ìèíèìàëüíûì, åñëè

                                1 − βk µmin = −(1 − βk µmax )


                                             31

Страницы