Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

β
k
=
2
µ
x
+µ
n
µ
n
= min
i
µ
ik
µ
x
= max
i
µ
ik
M D
kP
k+1
− P
0
k ≤ q
k
kP
k
− P
0
k, q
k
≤ 1.
kP
k+1
− P
0
k ≤
k+1
Y
i=1
q
i
kP
1
− P
0
k, q
i
≤ 1.
µ
n
> 0,
kP
k+1
− P
0
k ≤ (
µ
x
− µ
n
µ
x
+ µ
n
)
k+1
kP
1
− P
0
k,
P
0
M = D D = A
−1
β
k
β λ
β = 1 λ = 0
λ β
λ
F (f(P ), g(Q)) P
Q
∂g
∂q
i
Q P Q Q = Q
0
Q
0
Q
P
Q
Q
                  2
èëè, åñëè βk = µx +µn
                      , ãäå µn = mini µik , è µx = maxi µik .
 ýòîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó ìàòðèöû M è D ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè,
ìû èìååì
                          kPk+1 − P0 k ≤ qk kPk − P0 k, qk ≤ 1.
Ìû ìîæåì ïîêàçàòü ïî èíäóêöèè, ÷òî
                                       k+1
                                       Y
                      kPk+1 − P0 k ≤         qi kP1 − P0 k,   qi ≤ 1.
                                       i=1

Åñëè ïàðàìåòðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, òî µn > 0, [92] è
                                         µx − µn k+1
                      kPk+1 − P0 k ≤ (           ) kP1 − P0 k,
                                         µx + µn

è ïðîöåññ (6) ñõîäèòñÿ ê P0 . Ergo.
Ïðèìå÷àíèå 1. Åñëè M = D, ò.å. , D = A−1 , ñõîäèìîñòü áóäåò íàèáîëåå áûñòðîé.
Ïëîõàÿ îáóñëîâëåííîñòü è äåìïôèðîâàíèå çàìåäëÿþò åå, íî îíè íå îñòàíàâëèâàþò
åå (ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ βk ).
Ïðèìå÷àíèå 2. ×èñëà β (øàã) è λ (äåìïôèðóþùèé ôàêòîð) îïðåäåëÿþò ñòðàòåãèþ
ìèíèìèçàöèè. Åñëè ìàòðèöà õîðîøî îáóñëîâëåíà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîëíûé
øàã (β = 1) è íå èñïîëüçîâàòü äåìïôèðîâàíèå (λ = 0); íî â ñëó÷àå ïëîõîé
îáóñëîâëåííîñòè íàäî áðàòü áîëüøèå λ è ìåíüøèå β .
Î âëèÿíèè äåìïôèðîâàíèÿ íà ìàòðèöó îøèáîê êà÷åñòâåííî ìîæíî ñêàçàòü ëèøü
îäíî: åñëè λ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, ýëåìåíòû ìàòðèöû, îáðàòíîé ê
äåìïôèðîâàííîé, ìîãóò îòëè÷àòüñÿ î÷åíü ñóùåñòâåííî îò ýëåìåíòîâ ìàòðèöû,
îáðàòíîé ê èñõîäíîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà, âû÷èñëåííàÿ íà ïîñëåäíåé
èòåðàöèè, áóäåò ñìåùåííîé îöåíêîé ìàòðèöû êîâàðèàöèé, è ñìåùåíèå áóäåò òåì
áîëüøå, ÷åì õóæå îáóñëîâëåííîñòü èñõîäíîé ìàòðèöû.
Ïðèìå÷àíèå 3. Ìàëîñòüþ øàãà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàêæå äëÿ çàìåíû
àíòèãðàäèåíòà åãî ïðèáëèæåíèåì (íàïðèìåð, áîëåå ïðîñòûì äëÿ âû÷èñëåíèé,
èëè, åñëè íåîáõîäèìî è âîçìîæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå ïðîñòóþ ïàðàìåòðèçàöèþ
âûðàæåíèÿ, ìîäåëèðóþùåãî äàííûå). Åñòåñòâåííîå óñëîâèå äëÿ òîãî - ìàëîñòü
îòëè÷èé ïî íîðìå èñòèííîãî àíòèãðàäèåíòà îò åãî ïðèáëèæåíèÿ è, ðàçóìååòñÿ,
ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìíê-ìàòðèöû.
Èíîãäà òî÷íóþ ïàðàìåòðèçàöèþ òðóäíî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, åñëè ôèçè÷åñêèìè
ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ êàê ýëåìåíòû íåêîòîðîé ïðÿìîé ìàòðèöû, òàê è ýëåìåíòû
ìàòðèöû, îáðàòíîé ê íåé, èëè åå äåòåðìèíàíò; ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïàðàìåòðîâ çàäà÷à
ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ñëîæíîé äëÿ ðåàëèçàöèè.
Äëÿ ïðîÿñíåíèÿ èäåè óïðîùåíèÿ ïàðàìåòðèçàöèè ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïóñòü F (f (P ), g(Q)) - ñëîæíîå âûðàæåíèå, çàâèñÿùåå îò âåêòîðîâ ïàðàìåòðîâ P è
                                                    ∂g
Q, è ïóñòü àíàëèòè÷åñêîå âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ ∂q    i
                                                        ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñëîæíûì, à
÷èñëåííîå âåäåò ê íåäîïóñòèìî áîëüøîìó âðåìåíè ðàáîòû ïðîãðàììû. Åñëè âåêòîð
Q íåçàâèñèì îò âåêòîðà P è ìû çàôèêñèðóåì Q, ïîëîæèâ Q = Q0 , ãäå Q0 - ëèáî
àïðèîðíàÿ îöåíêà Q, ëèáî åãî çíà÷åíèå íà ïðåäûäóùåé èòåðàöèè, ìû ïîëó÷èì ïðîñòî
ìîäåëü ðåãðåññèè, íå âïîëíå åé àäåêâàòíóþ, è ìíê-îöåíêè ïàðàìåòðîâ âåêòîðà P
áóäóò ñìåùåííûìè, ò.å. èìåòü ñèñòåìàòè÷åñêóþ îøèáêó. Âåêòîð Q åñòåñòâåííî ïðè
ýòîì ìåíÿòüñÿ íå áóäåò. Íî åñëè ñðåäè êîìïîíåíò Q áóäóò çàâèñÿùèå îò êîìïîíåíò


                                             32

Страницы