Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S(P )
2
=
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f(x
j
, P ))
2
g(P ) ≤ 0.
p
il
≤ p
i
≤ p
iu
; p
j
= k
j
p
i
+ b
j
. i = 1, 2, ..., n j > i.
p
j
= k
j
p
i
+b
j
i i k
j
b
j
j
P
ˆp
i
=
p
i
p
il
≤ p
i
≤ p
iu
p
il
p
i
< p
il
p
iu
p
i
> p
iu
ˆp
i
P
[p
il
, p
iu
], i = 1, 2, ..., n,
S(P )
2
=
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f(x
j
, P ))
2
+ λg(P ).
λ
λg(P )
g(P ) g(P ) λg(P )
λ
      ËÅÊÖÈß 9. ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß È ÓÑËÎÂÍÀß
                     ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈß.
   Çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà
                                         m
                                         X
                           S(P )2 =            w(xj )(y(xj ) − f (xj , P ))2               (7)
                                         j=1

ïðè óñëîâèÿõ
                                                g(P ) ≤ 0.                                 (8)
Óñëîâèÿ ìîãóò áûòü çàäàíû ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ïðîñòåéøèå óñëîâèÿ - ýòî
äâóñòîðîííèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû èëè ïîïàðíûå ëèíåéíûå ñâÿçè ìåæäó íèìè:
               pil ≤ pi ≤ piu ;   pj = kj pi + bj .        ïðè i = 1, 2, ..., n è j > i.
Ïîïàðíûå çàâèñèìîñòè ôàêòè÷åñêè ñîêðàùàþò ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ.
Ïîýòîìó, èõ ó÷åò îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ÌÍÊ-ìàòðèöû: åñëè pj = kj pi +bj ,
òî i-ûå ñòðîêà è ñòîëáåö âû÷åðêèâàþòñÿ íà i-ì ìåñòå è, óìíîæåííûå íà kj è
ñëîæåííûå ñ bj , äîáàâëÿþòñÿ ê j -ì ñòðîêå è ñòîëáöó.
Äâóñòîðîííèå îãðàíè÷åíèÿ ó÷èòûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîåêòèðîâàíèÿ òåêóùåãî
âåêòîðà P íà ýòè îãðàíè÷åíèÿ. Îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ âûãëÿäèò òàê:
                                    
                                     pi
                                                åñëè pil ≤ pi ≤ piu ;
                             p̂i =  pil         åñëè pi < pil ;
                                   
                                     piu         åñëè pi > piu ;
ãäå p̂i - êîìïîíåíòû ïðîåêöèè âåêòîðà P íà îãðàíè÷åíèÿ. Äîêàçàíî, ÷òî åñëè òî÷êà
ìèíèìóìà (7) ëåæèò âíóòðè ñèìïëåêñà [pil , piu ], i = 1, 2, ..., n, ïðîåêöèè ñõîäÿòñÿ ê
íåé.
Ìåòîä ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðèìåíèì â ñëó÷àå, åñëè (8) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âûïóêëûå
ñâÿçè, ò.å. âûäåëÿþò â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ âûïóêëóþ îáëàñòü, - òàêóþ,
÷òî âñå òî÷êè, ëåæàùèå íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì ëþáûå äâå òî÷êè èç ýòîé
îáëàñòè, òîæå ïðèíàäëåæàò åé. Âûïóêëûìè áóäóò âñå îáëàñòè, îãðàíè÷èâàåìûå
ëèíåéíûìè ôîðìàìè è ïîëîæèòåëüíî - îïðåäåëåííûìè êâàäðàòè÷íûìè, è ìíîãèå
äðóãèå. Ïðîåêöèè íà âûïóêëîå ìíîæåñòâî (8) ñõîäÿòñÿ (ïðè ïðàâèëüíîé ñòðàòåãèè
ìèíèìèçàöèè) ê òî÷êå ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (7).
Ïîñòðîåíèå ïðîåêòîðà ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ âåñüìà íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé. Ïîýòîìó,
øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàøëè äðóãèå ìåòîäû, ïðåæäå âñåãî ìåòîä Ëàãðàíæà è ìåòîä
øòðàôíûõ ôóíêöèé.
Èäåÿ ìåòîäà Ëàãðàíæà ñîñòîèò â çàìåíå ôóíêöèîíàëà (7) íà
                                  m
                                  X
                      S(P )2 =          w(xj )(y(xj ) − f (xj , P ))2 + λg(P ).            (9)
                                  j=1

ñ äîïîëíèòåëüíîé íåèçâåñòíîé ïåðåìåííîé λ è ìèíèìèçàöèè (9) ïðè óñëîâèè (8).
Ìåòîä øòðàôíûõ ôóíêöèé òîæå ñîñòîèò â ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (9), íî λg(P )
èãðàåò ðîëü "øòðàôà", êîòîðûé äîáàâëÿåòñÿ ê ôóíêöèîíàëó (7) òåì â áîëüøåì
ðàçìåðå, ÷åì áîëüøå g(P ) ïðåâîñõîäèò íóëü; åñëè g(P ) îòðèöàòåëüíà, òî ÷ëåí λg(P )
íå äîáàâëÿåòñÿ.
Îáû÷íî íà÷èíàþò ñ áîëüøèõ λ; çàòåì ïî ìåðå óñïåõà åå óìåíüøàþò. Ýôôåêòèâíîñòü
ìåòîäà íå ñòîïðîöåíòíà, íî ÷àñòî áûâàåò ïðèåìëåìîé.

                                                    34

Страницы