Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

•
•
•
y
ψ
(a, b) = C
Z
ψ((b − x)/a)f(x)dx
C ψ(x, a, b)
exp(ixw)
a, b
ψ
n
(x) = (−1)
n
d
n
dx
n
exp(−x
2
/2), n = 0, 1, 2, ...
f(x)
ψ
n
(x)
h(x
k
), k = 0, 1, 2, .., m
m/2 ψ
n
(x)
ˆ
F f(k) → s(l), k ∈ K, l ∈ L f(k)
s(l)
n f
k
   • ÷àñòîòíûé ñîñòàâ ôóíêöèè (ãèñòîãðàììû) ïðåäïîëàãàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì;
     èíà÷å, ñãëàæèâàíèå, íàïðèìåð, äàñò ïîäàâëåíèå íåêèõ "ñðåäíèõ"âåðõíèõ
     ÷àñòîò, ÷òî ìîæåò âåñòè ê ñèëüíûì ëîêàëüíûì èñêàæåíèÿì ðåçóëüòèðóþùåé
     ôóíêöèè.

   • ñàìè ÷àñòîòû è èõ ñîñòàâ ôèêñèðîâàíû, ÷òî íå âñåãäà æåëàòåëüíî ñ òî÷êè
     çðåíèÿ àíàëèçà;

   • ôîðìà ÷àñòîò áåðåòñÿ ïðîñòåéøåé - ñèíóñîèäàëüíîé, ÷òî ñèëüíî óìåíüøàåò
     àíàëèòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ôîðìàëèçìà Ôóðüå ïðåîáðàçîâàíèé.

Âåéâëèòû è ïðèçâàíû ïðåîäîëåòü ýòè íåäîñòàòêè.
Îäíîìåðíîå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèè f(x) èìååò âèä:
                                        Z
                        yψ (a, b) = C       ψ((b − x)/a)f (x)dx             (13)

ãäå C - íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà, ôóíêöèè ψ(x, a, b) - ñåìåéñòâî "âåéâëèòîâ-
îáîáùåííûõ àíàëîãîâ ñèíóñîèäàëüíûõ ÷àñòîò exp(ixw) ñ ïîäãîíÿåìûìè
ïàðàìåòðàìè a, b, ÷òî ïîçâîëÿåò ñäâèãàòü "÷àñòîòû"óæå íåðàâíîìåðíî è ñ
ïåðåìåííûì ìàñøòàáîì.
Äèàïàçîí èñïîëüçóåìûõ âåéâëèòîâ èñêëþ÷èòåëüíî âåëèê - îò, ïðîñòåéøèõ
ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé äî, íàïðèìåð, ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèè Ãàóññà
                                     dn
                   ψn (x) = (−1)n       exp(−x2 /2),    n = 0, 1, 2, ...    (14)
                                    dxn
Âåéâëèò-ïðåîáðàçîâàíèå (13) äàåò íàì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) ïî âåéâëèòàì
ψn (x), è äàëüíåéøèå äåéñòâèÿ ñ ýòèì ðàçëîæåíèåì ìîãóò áûòü òàêèìè æå, êàê è
êëàññè÷åñêîì Ôóðüå-àíàëèçå. Íî çäåñü ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå áàçèñà âåéâëèòíûõ
ôóíêöèé êà÷åñòâî ðåçóëüòàòà ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî ëó÷øå, ÷åì â Ôóðüå-àíàëèçå.
Ê ãèñòîãðàììàì ñëåäóåò ïðèìåíÿòü äèñêðåòíûé àíàëîã (13). Çäåñü ìàòåìàòè÷åñêèé
ôîðìàëèçì ñëîæíåå, ïîñêîëüêó äîáèòüñÿ ñèììåòðè÷åñêîé îáðàòèìîñòè (13) òàêîé,
êàê â êëàññè÷åñêîì Ôóðüå-àíàëèçå, óäàåòñÿ íå äëÿ âñÿêîãî áàçèñà âåéâëèòîâ.
Íî äëÿ îãðàíè÷åííûõ öåëåé (çàäà÷ ñãëàæèâàíèÿ, íàïðèìåð) îñîáûõ òðåáîâàíèé
ê ýòîìó áàçèñó íåò. Ãèñòîãðàììà h(xk ), k = 0, 1, 2, .., m áóäåò èìåòü íå áîëåå,
÷åì m/2 íåçàâèñèìûõ "÷àñòîò"ψn (x), íî âûáèðàåìûõ èç áîëåå øèðîêîãî ñïåêòðà
âñåâîçìîæíûõ.
Âåéâëèòû âåñüìà ïîäðîáíî èçëîæåíû â îáøèðíîé ëèòåðàòóðå, è íà ñàéòàõ Èíòåðíåòà,
ãäå äîñòóï ê èíôîðìàöèè î âåéâëèòàõ ìîæíî ïîëó÷èòü, íàáðàâ â www.google.ru
"âåéâëåò àíàëèç".

   Çàäà÷è ôèëüòðàöèè äàííûõ. Çàäà÷à ñãëàæèâàíèÿ ãèñòîãðàìì - ýòî
÷àñòíûé ñëó÷àé áîëåå îáùåé ïðîáëåìû ôèëüòðàöèè äàííûõ. Ôèëüòðîì íàçûâàåòñÿ
ïðåîáðàçîâàíèå F̂ f (k) → s(l),  k ∈ K, l ∈ L, ïåðåâîäÿùåå ãèñòîãðàììó f (k) â
ãèñòîãðàììó s(l). Öåëè åå: óñèëåíèå, ïîäàâëåíèå èëè âûðàâíèâàíèå êîìïîíåíò.
Êðîìå ðàññìîòðåííîãî ìåòîäà ñãëàæèâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ìû
êðàòêî ðàññìîòðèì çäåñü íàèáîëåå ýôôåêòèâíûå ìåòîäû - ýòî àïïðîêñèìàöèîííûå
ôèëüòðû è ôèëüòðû íà îñíîâå ñïëàéíîâ.
Àïïðîêñèìàöèîííûå ôèëüòðû: n ÷èñåë fk ïîäãîíÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè

                                             37

Страницы