Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
mn
X
m
Y
n
Y = AX
n = m
a
ij
= a
ji
a
ij
= 0, i 6= j
A
∗
= A
−1
I, i
ii
= 1 A
−1
; AA
−1
= I
A
nn
n
Det(A)
Sp(A), Sp =
P
n
i=1
a
ii
A B A = BB
A
−1
= B
−1
B
−1
A
(AX, X) > 0, X.
kAXkkXkcos(φ) > 0 → | φ |< 90
◦
X
a
ii
> 0
(AX, X) =
n
X
i=1
a
ii
x
2
i
E
λ
AE = λE
1/λ
×àñòíûé ñëó÷àé ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö åñòü ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû Amn íà âåêòîð
Xm : ýòî âåêòîð Yn òàêîé, ÷òî Y = AX
Íàèáîëåå èíòåðåñíûì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé êâàäðàòíûõ ìàòðèö, êîãäà n = m
Ñðåäè íèõ ðàçëè÷àþòñÿ:
1. Ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû. aij = aji .
2. Äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû. aij = 0, åñëè i 6= j .
3. Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû - òàêèå, ÷òî ëþáûå 2 ñòîëáöà (ñòðîêè) ýòîé ìàòðèöû
ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè âåêòîðàìè.
Îáîáùåíèåì îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû íà ñëó÷àé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ
óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Äëÿ îáîèõ ñïðàâåäëèâî A∗ = A−1 .
Åäèíè÷íàÿ (äèàãîíàëüíàÿ) ìàòðèöà I, iii = 1. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 ; AA−1 = I .
Ðàíã ìàòðèöû = ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ (èëè ñòðîê).
Âûðîæäåííîñòü ìàòðèöû Ann èìååò ìåñòî, åñëè åå ðàíã ìåíüøå n. Âûðîæäåííàÿ
ìàòðèöà íå èìååò îáðàòíîé.
 êîìïüþòåðíûõ îïåðàöèÿõ ñ ìàòðèöàìè ïîìèìî âûðîæäåííîñòè ìîæåò èìåòü
ìåñòî ïëîõàÿ îáóñëîâëåííîñòü: ýòî êîãäà òåîðåòè÷åñêè íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà
ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêà ê âûðîæäåííîé â ñèëó ïðèáëèæåííîãî õàðàêòåðà
ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñåë íà ÝÂÌ è äåéñòâèé ñ íèìè. Êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé
òàêîé áëèçîñòè ìîæåò ñëóæèòü äåòåðìèíàíò ìàòðèöû Det(A); åñëè îí áëèçîê ê íóëþ
èëè äàæå ÿâëÿåòñÿ ìàøèííûì íóëåì (ò.å. ÷èñëîì, íå ïðåäñòàâèìûì íà ÝÂÌ), òî
êîìïüþòåðíûé ïðåäñòàâèòåëü ìàòðèöû ìîæåò îêàçàòüñÿ âûðîæäåííûì. Èñõîäíóþ
ìàòðèöó â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò ïëîõî îáóñëîâëåííîé.
                            P
Ñëåä ìàòðèöû Sp(A), Sp = ni=1 aii .
Êâàäðàòíûé êîðåíü èç ìàòðèöû A. Ýòî ìàòðèöà B òàêàÿ, ÷òî A = BB . Êâàäðàòíûé
êîðåíü èíòåðåñåí òåì, ÷òî åãî îáóñëîâëåííîñòü ëó÷øå, ÷åì ó èñõîäíîé ìàòðèöû, à
òàê êàê A−1 = B −1 B −1 , òî ïëîõî îáóñëîâëåííóþ ìàòðèöó ëó÷øå âñåãî îáðàùàòü
ñ ïîìîùüþ îáðàùåíèÿ åå êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Îäíàêî íå êàæäàÿ ìàòðèöà èìååò
êâàäðàòíûé êîðåíü, à åñëè îí ñóùåñòâóåò, òî â ðàçíûõ êëàññàõ ìàòðèö îí èìååò
ðàçíûé âèä.
Ãåîìåòðè÷åñêèå èëëþñòðàöèè. Ýôôåêò âîçäåéñòâèÿ ìàòðèöû íà âåêòîð ýòî âðàùåíèå
âåêòîðà è/èëè èçìåíåíèå åãî äëèíû.
Ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà A îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

                     (AX, X) > 0,   äëÿ ëþáîãî âåêòîðà X.

Íàãëÿäíûé ñìûñë òàêîé ìàòðèöû ñëåäóåò èç: kAXkkXkcos(φ) > 0 → | φ |< 90◦
ò.å. ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ïîâîðà÷èâàåò âåêòîð X ìåíåå ÷åì íà 90
ãðàäóñîâ. Äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îçíà÷àåò
ïîëîæèòåëüíîñòü åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ: âñå aii > 0. Ýòî ñëåäóåò èç
                                           n
                                           X
                              (AX, X) =          aii x2i
                                           i=1

Ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ âåêòîð E è
÷èñëî λ òàêèå, ÷òî:
                                 AE = λE
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû 1/λ; ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñðåäè
ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ïðÿìîé ìàòðèöû åñòü ÷èñëà, áëèçêèå ê íóëþ, òî ó îáðàòíîé

                                      54

Страницы