Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ = 0
a
ii
ii
A
AA
0
±1
F (f(x)) =
Z
X
(y(x) − f(x))
2
dx + α
Z
X
f
002
(x)dx.
F X y(x) α
f(x)
f
00
(x) y(x) X
n F (x
1
, x
2
, ..., x
n
) f(x)
P
F (P ) =
Z
X
(y(x) − f(x, P ))
2
dx + α
Z
X
f
002
(x, P )dx
n
∂f
∂x
i
= 0 ≡ grad f = 0
•
•
•
• 0
f(x + h) ' f(x) + (h, f
0
) +
1
2
(f
00
h, h) x
f
0
= 0 f(x + h) f(x)
ìàòðèöû áóäóò ñîáñòâåííûå ÷èñëà, áëèçêèå ê áåñêîíå÷íîñòè. Âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà
èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî λ = 0.
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû: aii , à åå ñîáñòâåííûå âåêòîðà ýòî
âåêòîðà, ó êîòîðûõ òîëüêî ii-àÿ êîîðäèíàòà îòëè÷íà îò íóëÿ.
Ó ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû.
Ìàòðèöà - îòëè÷íàÿ ìîäåëü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, èäåàëüíî ïîäõîäÿùàÿ äëÿ ðàáîòû
ñ òàêèìè íà ÝÂÌ. Â åâêëèäîâîì áàçèñå íîðìà ìàòðèöû A ðàâíà êîðíþ êâàäðàòíîìó
èç ìàêñèìàëüíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû AA0 .
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 1. Äîêàçàòü (èëè õîòÿ áû ïîêàçàòü íà ïðèìåðå), ÷òî ìàòðèöà,
ó êîòîðîé â êàæäûõ ñòðîêå è ñòîëáöå åñòü òîëüêî îäèí ýëåìåíò, ðàâíûé ±1, à
îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ, ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé.
Ýòè ìàòðèöû èãðàþò áîëüøóþ ðîëü â êðèñòàëëîãðàôèè, ãäå îíè ÿâëÿþòñÿ
ïðåäñòàâëåíèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðóïï ñèììåòðèè.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö âûøåîïèñàííîãî òèïà åñòü
ìàòðèöà ýòîãî æå òèïà. à óìíîæåíèå òàêîé ìàòðèöû íà âåêòîð ýêâèâàëåíòíî
ïåðåñòàíîâêå êîìïîíåíò ýòîãî âåêòîðà.
Ìèíèìóì ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ôóíêöèîíàëîì íàçûâàåòñÿ
îòîáðàæåíèå àáñòðàêòíîãî ïðîñòðàíñòâà íà ÷èñëîâóþ îñü. Ïðèìåð.
                                   Z                            Z
                                                     2
                    F (f (x)) =         (y(x) − f (x)) dx + α           f 002 (x)dx.
                                    X                               X

Çäåñü ôóíêöèîíàë F äëÿ çàäàííûõ X , y(x) è α îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå
äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé f (x), èíòåãðèðóåìûõ â êâàäðàòå âìåñòå ñ
ïðîèçâîäíûìè f 00 (x) è y(x) íà X .
Îí ñòàíîâèòñÿ îáû÷íîé ôóíêöèåé n ïåðåìåííûõ F (x1 , x2 , ..., xn ), åñëè f (x)
ôèêñèðîâàíà, íî çàâèñèò îò ïåðåìåííîãî âåêòîðà P :
                              Z                                Z
                   F (P ) =       (y(x) − f (x, P ))2 dx + α           f 002 (x, P )dx
                              X                                    X

ÝÊÑÒÐÅÌÓÌÛ. Ñëîæíàÿ ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèîíàëîâ
ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ â ñëó÷àå îáû÷íûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé n ïåðåìåííûõ.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà:

                                    ∂f
                                        =0      ≡ grad f = 0
                                    ∂xi
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ.

   • ìàòðèöà 2-õ ïðîèçâîäíûõ ïîëîæèòåëüíî - îïðåäåëåíà = ìèíèìóì;

   • ìàòðèöà 2-õ ïðîèçâîäíûõ îòðèöàòåëüíî - îïðåäåëåíà = ìàêñèìóì;

   • ìàòðèöà 2-õ ïðîèçâîäíûõ íè îäíî èç äâóõ = ñåäëî;

   • ìàòðèöà 2-õ ïðîèçâîäíûõ èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå 0 = ýêñòðåìóì íå
     åäèíñòâåíåí;

Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ôîðìóëû f (x + h) ' f (x) + (h, f 0 ) + 12 (f 00 h, h), ãäå x -
òî÷êà ýêñòðåìóìà. Òàê êàê f 0 = 0, òî f (x + h) áóäåò áîëüøå èëè ìåíüøå, ÷åì f (x) â

                                                55

Страницы