Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(i) i x
i
f x
i
, i = 1, .., m
x
i
x
1
≤ x ≤ x
2
f(x) = f(x
1
) +
f(x
2
)−f(x
1
)
x
2
−x
1
∆
1
f(i) =
f(i+1)−f(i)
(x
i+1
−x
i
)
∆
2
f(i) =
f(i+1)−f(i−1)
(x
i+1
−x
i−1
)
S =
P
m−1
i=1
f(x
i
)(x
i+1
− x
i
)
f(i) r(i) =
P
m
i=1
a
i
f(i) a
i
f(x)
f(x)
x
i
a
i
x
i
x
i
= hi
∆
11
f(i) = (f(i) − f(i − 1))/h ∆
12
f(i) = (f(i + 1) − f(i − 1))/2h)
f(i − 1) ∼ f(i) − hf
0
(i) + 0.5h
2
f
00
(i) − (1/6)h
3
f
000
(i)
f(i + 1) ∼ f(i) + hf
0
(i) + 0.5h
2
f
00
(i) + (1/6)h
3
f
000
(i)
∆
12
∆
11
∆
12
∆
11
f(x
k+1
) =
P
k
i=1
a
i
f(x
i
)
f(k + 1) f
k
f
x x
X
P
f (i), ãäå i - íîìåð òî÷êè xi . Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f â òî÷êàõ, îòëè÷íûõ îò xi , i = 1, .., m,
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷àåì
íîâóþ ôóíêöèþ, ñîâïàäàþùóþ ñî ñòàðîé â òî÷êàõ xi è îòëè÷àþùóþñÿ îò íåå â
îñòàëüíûõ òî÷êàõ. Ýòè îòëè÷èÿ ìîæíî ìèíèìèçèðîâàòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè,
â çàâèñèìîñòè îò ðàçëè÷íûõ êðèòåðèåâ îöåíêè êà÷åñòâà ïðèáëèæåíèÿ, òàê ÷òî
ñåìåéñòâî âñåâîçìîæíûõ èíòåðïîëÿòîðîâ î÷åíü âåëèêî.
Åñòåñòâåííî, òàêèå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êàê
ïðîèçâîäíàÿ è èíòåãðàë çàìåíÿþòñÿ èõ äèñêðåòíûìè àíàëîãàìè - ðàçíîñòÿìè è
ñóììàìè.
ÏÐÈÌÅÐÛ äèñêðåòíûõ êîíñòðóêöèé.
1. Ïðîñòåéøèé (ëèíåéíûé) èíòåðïîëÿòîð: åñëè x1 ≤ x ≤ x2 , òî
f (x) = f (x1 ) + f (xx22)−f
                          −x1
                             (x1 )
                                   .
2. Ïðîñòåéøàÿ 1-ÿ ðàçíîñòü ∆1 f (i) = f(x  (i+1)−f (i)
                                             i+1 −xi )
                                                       .
3. Ïðîñòåéøàÿ 2-ÿ ðàçíîñòü ∆2 f (i) = f (x   (i+1)−f (i−1)
                                               i+1 −xi−1 )
                                                           .
                                                Pm−1
4. Ïðîñòåéøàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà S = i=1 f (xi )(xi+1 − xi ).
Íàèáîëåå ïðîñòî ðåçóëüòàò äèñêðåòíîé îïåðàöèè ñòðîèòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
                       P
âåëè÷èí f (i): r(i) = m  i=1 ai f (i). Êîýôôèöèåíòû ai âûáèðàþòñÿ èç ïðåäïîëîæåíèé
î âîçìîæíîì õàðàêòåðå íåïðåðûâíoé ôóíêöèè f (x) è òðåáîâàíèé ê êà÷åñòâó
ïðèáëèæåíèÿ åå äèñêðåòíûì àíàëîãîì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå
ïðèìåðû èñõîäÿò èç ïðåäïîëîæåíèÿ î êóñî÷íî-ëèíåéíîì õàðàêòåðå ôóíêöèè f (x)
â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó óçëîâûìè òî÷êàìè xi ; èíà÷å, èç òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû êóñî÷íî-
ëèíåéíûå ôóíêöèè ïðèáëèæàëèñü â íèõ òî÷íî âî âñåõ òî÷êàõ, è åñëè òàêèå ôóíêöèè
äåéñòâèòåëüíî ïðèáëèæàþò ôóíêöèþ ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ, òî âñå â ïîðÿäêå.
Íàèáîëåå ñîâåðøåííûå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ai - âàðèàöèîííûå, â
÷àñòíîñòè, ñïëàéíîâûå. Îíè áóäóò ðàññìîòðåíû â ãëàâå î ôèëüòðàöèè äàííûõ.
Äðóãîé ïîäõîä ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíûõ óçëîâ xi - åñëè ïîçâîëÿþò óñëîâèÿ
ýêñïåðèìåíòà.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå xi = hi.
Âîçüìåì ∆11 f (i) = (f (i) − f (i − 1))/h è ∆12 f (i) = (f (i + 1) − f (i − 1))/2h). Îöåíèì
òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ 1-é ïðîèçâîäíîé ýòèìè âåëè÷èíàìè.
Èìååì
                  f (i − 1) ∼ f (i) − hf 0 (i) + 0.5h2 f 00 (i) − (1/6)h3 f 000 (i)
                  f (i + 1) ∼ f (i) + hf 0 (i) + 0.5h2 f 00 (i) + (1/6)h3 f 000 (i)
Îòñþäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî:
1. àñèìïòîòè÷åñêàÿ òî÷íîñòü ó ∆12 âûøå, ÷åì ó ∆11 ;
2. íà íåìîíîòîííûõ ó÷àñòêàõ ∆12 ìîæåò äàâàòü î÷åíü áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü, áîëüøå
÷åì ∆11 .
                                                          P
Ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ÷àñòî èìåþò âèä: f (xk+1 ) = ki=1 ai f (xi ),
ò.å. f (k + 1) âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå çíà÷åíèÿ f . Òàêèå ñõåìû ìîãóò
íàêàïëèâàòü ïîãðåøíîñòü òàê, ÷òî ðåøåíèå ìîæåò ñòàòü íåóñòîé÷èâûì ïðè ðîñòå k .
Áîëåå óñòîé÷èâû ñõåìû ñ îïåðåæåíèåì, ò.å. èñïîëüçóþùèå âñå çíà÷åíèÿ f . Ñ îäíîé
òàêîé ñõåìîé - 'ïðîãîíêîé' - ìû ïîçíàêîìèìñÿ â ãëàâå î ôèëüòðàöèè äàííûõ.
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x êàê è îáû÷íàÿ ïåðåìåííàÿ x
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîé îáëàñòè X , íî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò
ýòè çíà÷åíèÿ ñ îïðåäåëåííûìè âåðîÿòíîñòÿìè P .


                                                 57

Страницы