Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(f
00
h, h)
x, y x
2
+ y
2
, −x
2
− y
2
, x
2
− y
2
, x
2
F
1
(y, y
0
) =
Z
b
a
f(x, y(x), y
0
(x))dx
F
2
(y, y
0
, y
00
) =
Z
b
a
f(x, y(x), y
0
(x), y
00
(x))dx
x x
i
y
F (y(x)) y(x) h(x)
y(x)− > y(x) + h(x) δy
F (y(x) + h(x)) − F (y(x)) δF
F δF = 0
F
1
F
2
F
1
F
2
∂F
1
∂y
−
d
dx
∂F
1
∂y
0
= 0;
∂F
2
∂y
−
d
dx
∂F
2
∂y
0
+
d
2
dx
2
∂F
2
∂dy
00
= 0;
F
1
y(a) = a
0
; y(b) = b
0
. h(x) y(x) a
0
, b
0
h(a) = 0, h(b) = 0 y
0
(x) h
0
(x)
F
1
δF
1
(y, y
0
) =
Z
b
a
(
∂F
1
∂y
h(x) +
∂F
1
∂y
0
h
0
(x))dx
h(a) = 0, h(b) = 0
δF
1
(y, y
0
) =
Z
b
a
(
∂F
1
∂y
h(x) −
d
dx
∂F
1
∂y
0
h(x))dx
δF
1
(y, y
0
) = 0
X : x
0
≤ x ≤ x
1
f(x) X
m
: x = x
1
, x
2
, ..., x
m
çàâèñèìîñòè îò (f 00 h, h).
ÏÐÈÌÅÐÛ. Äàííûå óñëîâèÿ î÷åíü íàãëÿäíî èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðàìè
ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ x, y : x2 + y 2 , −x2 − y 2 , x2 − y 2 , x2 .

  Ôóíêöèîíàëû îáùåãî òèïà òîæå èãðàþò áîëüøóþ ðîëü â ýêñïåðèìåíòàëüíîé
ôèçèêå, îñîáåííî òèïà
                                                       Z b
                           F1 (y, y 0 ) =                       f (x, y(x), y 0 (x))dx
                                                           a
                                                   Z b
                             0           00
                      F2 (y, y , y ) =                     f (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x))dx
                                                       a
â íåïðåðûâíîé ôîðìå èíòåãðàëîâ ïî x èëè äèñêðåòíîé - ñóìì ïî xi . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî â ðîëè y ÷àñòî âûñòóïàþò ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, òàê ÷òî ýôôåêòû îò íèõ
è èõ ïðîèçâîäíûõ öåëåñîîáðàçíî îöåíèâàòü ïðîñóììèðîâàííûìè è óñðåäíåííûìè
âåëè÷èíàìè.
Ýêñòðåìóìàìè òàêèõ ôóíêöèîíàëîâ çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà -
âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Öåíòðàëüíûì åãî ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ âàðèàöèÿ - åñëè
F (y(x)) åñòü ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé y(x), òî ýëåìåíò h(x), íà êîòîðûé
èçìåíèëñÿ y(x)− > y(x) + h(x), íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé ïåðåìåííîé δy , à èçìåíåíèå
F (y(x) + h(x)) − F (y(x)) - âàðèàöèåé ôóíêöèîíàëà δF .
Óñëîâèå ýêñòðåìóìà F ïîõîæå íà àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé: δF = 0.
Äëÿ ôóíêöèîíàëîâ òèïà F1 èëè F2 ýòî óñëîâèå èìååò ñïåöèôè÷åñêóþ ôîðìó, ò.í.
óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Äëÿ F1 è F2 ýòî áóäóò

                                              ∂F1    d ∂F1
                                                  −         = 0;                              (41)
                                              ∂y    dx ∂y 0

                            ∂F2    d ∂F2     d2 ∂F2
                                −         +            = 0;                                   (42)
                            ∂y    dx ∂y 0   dx2 ∂dy 00
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ. Ïîïðîáóåì âûâåñòè (41) äëÿ F1 â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå
y(a) = a0 ; y(b) = b0 . Åñëè h(x) - âàðèàöèÿ y(x), òî ïðè ïîñòîÿííûõ a0 , b0
h(a) = 0, h(b) = 0, à âàðèàöèÿ y 0 (x) î÷åâèäíî ðàâíà h0 (x). Ñëåäîâàòåëüíî, âàðèàöèÿ
F1 áóäåò èìåòü âèä
                                               Z b
                                     0             ∂F1                     ∂F1 0
                       δF1 (y, y ) =                   (          h(x) +        h (x))dx
                                                   a       ∂y              ∂y 0
Ýòîò èíòåãðàë åñòü ñóììà äâóõ èíòåãðàëîâ, è èíòåãðèðóÿ âòîðîé ïî ÷àñòÿì, è
ó÷èòûâàÿ, ÷òî h(a) = 0, h(b) = 0, ìû ïîëó÷èì
                                              Z b
                                 0                ∂F1                      d ∂F1
                      δF1 (y, y ) =                (             h(x) −           h(x))dx
                                               a           ∂y             dx ∂y 0

×òîáû δF1 (y, y 0 ) = 0, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå (41).
Ðàçíîñòíûå ñõåìû. Òåîðåòè÷åñêèì ìîäåëÿì, îïèñûâàåìûì êàê ïðàâèëî,
íåïðåðûâíûìè (è îáû÷íî äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè) ôóíêöèÿìè, â ýêñïåðèìåíòå
ñîîòâåòñòâóþò äèñêðåòíûå ôóíêöèè. Ò.å. ìíîæåñòâó X : x0 ≤ x ≤ x1 è òåîðåòè÷åñêîé
ôóíêöèè f (x) ñîîòâåòñòâóþò äèñêðåòíûå ìíîæåñòâî Xm : x = x1 , x2 , ..., xm è ôóíêöèÿ

                                                                56

Страницы