Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 23 стр.

    Задание 32. Доказать, что конус рецессивных направлений выпуклого
множества является конусом.
    Задание 33. Доказать, что выпуклое множество Q будет
ограниченным в том случае, если его конус рецессивных направлений
состоит только из нулевого вектора, т.е. если
                             W = {0} .

Вопросы и задачи к главе 1

  1. Являются ли линейным подпространством все векторы n -мерного
     векторного пространства, компоненты которых – целые числа?
  2. Являются ли линейным подпространством все векторы плоскости,
     лежащие на данной прямой?
  3. Являются ли линейным подпространством все векторы из R n ,
     компоненты которых удовлетворяют уравнению x1 + x2 + ... + xn = 0 ?
  4. Доказать, что взаимно ортогональные линейные подпространства
     пространства R n обладают следующими свойствами:
     а) ( S1 + S2 ) ⊥ = S1⊥ I S2⊥ ;

     б) ( S1 I S 2 ) ⊥ = S1⊥ + S 2⊥ ;

  5. Линейное подпространство S в R 4 задано как множество решений
     системы линейных уравнений:
     2 x1 + x2 + 3 x3 − x4 = 0,
     3 x1 + 2 x2 − 2 x4 = 0,
     3 x1 + x2 + 9 x3 − x4 = 0.
  Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение S ⊥ .
  6. Доказать, что любую прямую в R n можно представить в виде
     пересечения (n − 1) − ой гиперплоскости.

  7. Является ли множество                         {            }
                                             X = x ∈ R n : Ax ≤ b , где A   – матрица

     размерности m × n ,                b – вектор R m выпуклым? Обосновать свой
     ответ. Указать конус рецессивных направлений этого множества.



                                              23