Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

22
Аналогичным образом интерпретируются обратные неравенства
0, 0
x
x≤<. Выражения ,
x
yx y≥> для двух векторов из
n
R
означают,
что
0, 0.
x
yxy−≥ −>
Множество Q будем называть
конечным многогранным конусом,
если это множество является многогранным конусом и может быть
представлено в виде конусной оболочки конечного набора векторов,
каждый из которых не представим в виде выпуклой комбинации двух
отличных от него векторов из этого же конуса. Такие векторы будем
называть
векторами, образующими конечный многогранный конус.
Задание 26. Доказать, что множество
n
R
+
является конечным
многогранным конусом.
Задание 27. Доказать, что любое линейное подпространство
ненулевой размерности является многогранным конусом, но не является
конечным многогранным конусом.
1.6 Ограниченные множества
Множество X из
n
R
называется ограниченным, если норма любого
вектора из
X не превышает некоторой вещественной величины, т.е.
существует 0
M
>
.
x
MxX
≤
∀∈
Если для любого вещественного 0
M
> существует
X∈ такой, что
,
x
M>
то множество
X является неограниченным.
Выпуклая оболочка конечного числа векторов
n
R
называется
политопом. Пусть ,1,,
x
t
τ
τ
= K – некоторый набор векторов
n
R
.
Политоп, образуемый этими векторами, является множеством
11
{ : 1, 0, 1, , }.
tt
i
iii
ii
Xx x i t
λλλ
==
== = ≥ =
∑∑
K
Задание 29. Доказать, что любой конус, содержащий ненулевой
вектор, является неограниченным множеством.
Задание 30. Доказать, что любой политоп является ограниченным
множеством.
Задание 31. Доказать, что любой политоп можно представить в
виде выпуклой оболочки конечного числа векторов, каждый из которых не
является выпуклой комбинацией двух разных векторов из этого политопа.
Для выпуклого множества Q совокупность векторов
{
}
:
n
WyRQyQ=∈ +=
,
будем называть
конусом рецессивных направлений. 
     Аналогичным образом интерпретируются обратные неравенства
x ≤ 0, x < 0 . Выражения x ≥ y, x > y для двух векторов из R n означают,
что x − y ≥ 0, x − y > 0.
     Множество Q будем называть конечным многогранным конусом,
если это множество является многогранным конусом и может быть
представлено в виде конусной оболочки конечного набора векторов,
каждый из которых не представим в виде выпуклой комбинации двух
отличных от него векторов из этого же конуса. Такие векторы будем
называть векторами, образующими конечный многогранный конус.
     Задание 26. Доказать, что множество R+n является конечным
многогранным конусом.
     Задание 27. Доказать, что любое линейное подпространство
ненулевой размерности является многогранным конусом, но не является
конечным многогранным конусом.

                       1.6 Ограниченные множества

    Множество X из R n называется ограниченным, если норма любого
вектора из X не превышает некоторой вещественной величины, т.е.
существует M > 0
                        x ≤ M ∀x ∈ X .
    Если для любого вещественного M > 0 существует x ∈ X такой, что
                        x > M,
то множество X является неограниченным.
    Выпуклая оболочка конечного числа векторов R n называется
политопом. Пусть xτ , τ = 1, K, t – некоторый набор векторов R n .
Политоп, образуемый этими векторами, является множеством
                             t               t
                  X = {x = ∑ λi x : ∑ λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, K, t}.
                                     i

                            i =1         i =1
     Задание 29. Доказать, что любой конус, содержащий ненулевой
вектор, является неограниченным множеством.
     Задание 30. Доказать, что любой политоп является ограниченным
множеством.
     Задание 31. Доказать, что любой политоп можно представить в
виде выпуклой оболочки конечного числа векторов, каждый из которых не
является выпуклой комбинацией двух разных векторов из этого политопа.
     Для выпуклого множества Q совокупность векторов
                                         {               }
                                   W = y ∈ Rn : Q + y = Q ,
будем называть конусом рецессивных направлений.



                                             22

Страницы