Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 20 стр.

    Задание 20. Доказать, что любое линейное многообразие (и,
следовательно, любое линейное подпространство) является выпуклым
множеством.
    Размерностью выпуклого множества Q из R n будем называть
размерность его аффинной оболочки. Полагаем
                       dim Q = dim Aff (Q).
    Для заданных a ∈ R n , a ≠ 0, β ∈ R множества векторов
                           H 0+ = {x ∈ R n : a, x > β },
                         H + = {x ∈ R n : a, x ≥ β },            (20)
называются       соответственно          открытым      и  замкнутым
полупространствами, порождаемыми гиперплоскостью H , определяемой
при данных a, β условием (19). Далее замкнутое полупространство будем
обычно называть просто полупространством. Открытое полупространство
всегда будем особо оговаривать.
     Открытыми и замкнутыми полупространствами, порождаемыми
гиперплоскостью H , будут также множества
                         H 0− = {x ∈ R n : a, x < β },
                         H − = { x ∈ R n : a, x ≤ β } .         (21)

    Задание 21. Убедитесь, что гиперплоскость H разбивает все
пространство R n на два непересекающиеся открытое и замкнутое
полупространства двумя способами:
                       R n = H + U H 0− , H + I H 0− = 0;
                                                       /
                         R n = H − U H 0+ , H − I H 0+ = 0.
                                                         /
    Множество векторов R n , представимое в виде пересечения конечного
числа    полупространств,    называется   полиэдральным      выпуклым
множеством или, кратко, полиэдром, а также, иногда, линейным
многогранным множеством. Подчеркнем, что в данном определении под
полупространством понимаются замкнутое полупространство.
    Задание 22. Доказать, что любой полиэдр является выпуклым
множеством.
    Заметим, что любую гиперплоскость можно представить в виде
пересечения двух полупространств, ее порождающих. Из (20) – (21)
следует
                        H = H + I H −.
Поэтому любая гиперплоскость является выпуклым полиэдром.
    Задание 23. Доказать, что любое линейное многообразие является
выпуклым полиэдром.




                                      20