Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

19
Аффинные комбинации двух несовпадающих точек
x
и y из
n
R
образуют
прямую
{(1): }Px y R
λ
λλ
=+− ∈,
являющуюся одномерным линейным многообразием. Выпуклые
комбинации этих точек составляют
отрезок – часть прямой, заключенную
между этими точками
[, ] { (1 ) :0 1}.
x
yx y
λ
λλ
=
+− ≤≤
Лучом, выходящим из точки
n
x
R
∈
в направлении
n
zR∈ называется
множество точек
(, ) { : 0}.
L
xz x tz t
+≥
Отметим, что введенная выше прямая, состоит из двух лучей (, )
L
xz и
(, )
L
xz− при zyx=−.
Особое выделение двумерных линейных многообразий – плоскостей –
связано с удобством изображения: лист бумагу или доску можно
представить как фрагмент двухмерного линейного многообразия. Многие
факты линейной алгебры принято в иллюстративных целях изображать в
двухмерных линейных многообразиях (в т.ч. в двухмерных линейных
подпространствах).
Гиперплоскости играют роль, двойственную точкам.
Гиперплоскость
соcтоит из множества решений одного линейного уравнения. В
трехмерном пространстве (т.е. при n=3) гиперплоскости являются
плоскостями.
Задание 17. Доказать, что любое линейное многообразие можно
представить в виде пересечения конечного числа гиперплоскостей.
Причем минимально требуемое для этого число гиперплоскостей равно
nr− , где
r – размерность линейного многообразия.
Задание 18. Пусть гиперплоскость определена в виде множества
решений линейного уравнения
{:, }
n
HxR ax
β
=∈ < >= (19)
при заданных ,0,
n
aRa R
β
∈≠∈.
Доказать, что ортогональным дополнением к
H
будет прямая,
проходящая через вектор a и начало координат
{: }Pa R
λ
λ
=∈.
Множество Q из
n
R
называется выпуклым, если оно сдержит весь
отрезок между любыми двумя точками этого множества.
Задание 19. Доказать, что множество
n
QR
∈
будет выпуклым в
том и только том случае, если оно совпадает со своей выпуклой
оболочкой, т.е. если и только если
CoQ Q
=
. 
      Аффинные комбинации двух несовпадающих точек x и y из R n
образуют прямую
                            P = {λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ R} ,
являющуюся одномерным линейным многообразием. Выпуклые
комбинации этих точек составляют отрезок – часть прямой, заключенную
между этими точками
                            [ x, y ] = {λ x + (1 − λ ) y : 0 ≤ λ ≤ 1}.
        Лучом, выходящим из точки x ∈ R n в направлении z ∈ R n называется
множество точек
                            L( x, z ) = {x + tz : t ≥ 0}.
Отметим, что введенная выше прямая, состоит из двух лучей L( x, z ) и
L( x, − z ) при z = y − x .
      Особое выделение двумерных линейных многообразий – плоскостей –
связано с удобством изображения: лист бумагу или доску можно
представить как фрагмент двухмерного линейного многообразия. Многие
факты линейной алгебры принято в иллюстративных целях изображать в
двухмерных линейных многообразиях (в т.ч. в двухмерных линейных
подпространствах).
      Гиперплоскости играют роль, двойственную точкам. Гиперплоскость
соcтоит из множества решений одного линейного уравнения. В
трехмерном пространстве (т.е. при n=3) гиперплоскости являются
плоскостями.
      Задание 17. Доказать, что любое линейное многообразие можно
представить в виде пересечения конечного числа гиперплоскостей.
Причем минимально требуемое для этого число гиперплоскостей равно
n − r , где r – размерность линейного многообразия.
      Задание 18. Пусть гиперплоскость определена в виде множества
решений линейного уравнения
                            H = {x ∈ R n : < a, x >= β }               (19)
при заданных a ∈ R n , a ≠ 0, β ∈ R .
      Доказать, что ортогональным дополнением к H будет прямая,
проходящая через вектор a и начало координат
                            P = {λ a : λ ∈ R} .
    Множество Q из R n называется выпуклым, если оно сдержит весь
отрезок между любыми двумя точками этого множества.
    Задание 19. Доказать, что множество Q ∈ R n будет выпуклым в
том и только том случае, если оно совпадает со своей выпуклой
оболочкой, т.е. если и только если
                          CoQ = Q .




                                    19

Страницы