Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

17
Линейное многообразие, задаваемое в виде множества решений
системы линейных уравнений
. Из (8), (13) следует, что для любого
линейного многообразия в
n
R
найдутся вектор
n
yR
∈
и матрица
A
размерности mn× при некотором m , такие что
{:0}
L
xyzAz
=
=+ = . (15)
Введем вектор
bAy
=
. (16)
Тогда определение (15) будет равносильно следующему определению
линейного подпространства
{:}
n
L
xRAxb
=
∈=. (17)
Итак, показано, что любое линейное многообразие можно представить как
множество решений некоторой системы линейных уравнений.
Справедливо и обратное утверждение: множество решений любой
совместной системы линейных уравнений образует линейное
многообразие.
Задание 16. Пусть заданы матрица
A
размерности mn× и вектор
m
bR∈ . Рассматривается задача поиска решения системы линейных
уравнений
A
xb
. (18)
Доказать, что либо данная задача не имеет решения, либо имеет
множество решений, образующее линейное многообразие в
n
R
.
Следует отметить, что любое линейное подпространство является
линейным многообразием. Линейное многообразие будет линейным
подпространством, если в представлении (13) yS
∈
, в том числе, если
0y = . Это означает, что в представлении (14) вектор y находится в
линейной оболочке столбцов матрицы D , т.е. yDu
=
при некотором
k
uR∈ . При представлении линейного многообразия в виде (17) его
совпадение с линейным подпространством возможно в том и только том
случае, если 0b = .
В предыдущем разделе рассматривалась система линейных уравнений
вида (18) при 0b
=
. Такая система была названа однородной системой
линейных уравнений. Если вектор
x
является решением такой системы, то
при любом
λ
вектор
x
λ
также будет ее решением.
Неоднородной системой линейных уравнений или системой линейных
уравнений общего вида, а также (по умолчанию) просто системой
линейных уравнений будем называть систему вида (18), у которой вектор
b правой части может быть ненулевым, хотя и не исключается случай
0b = . Если рассматривается именно случай 0b
≠
, то он должен
оговариваться.
Систему уравнений
0
A
x
      Линейное многообразие, задаваемое в виде множества решений
системы линейных уравнений. Из (8), (13) следует, что для любого
линейного многообразия в R n найдутся вектор y ∈ R n и матрица A
размерности m × n при некотором m , такие что
                            L = {x = y + z : Az = 0} .           (15)
      Введем вектор
                            b = Ay .                             (16)
Тогда определение (15) будет равносильно следующему определению
линейного подпространства
                            L = {x ∈ R n : Ax = b} .             (17)
Итак, показано, что любое линейное многообразие можно представить как
множество решений некоторой системы линейных уравнений.
      Справедливо и обратное утверждение: множество решений любой
совместной системы линейных уравнений образует линейное
многообразие.
      Задание 16. Пусть заданы матрица A размерности m × n и вектор
b ∈ R m . Рассматривается задача поиска решения системы линейных
уравнений
                            Ax = b .                             (18)
Доказать, что либо данная задача не имеет решения, либо имеет
множество решений, образующее линейное многообразие в R n .
      Следует отметить, что любое линейное подпространство является
линейным многообразием. Линейное многообразие будет линейным
подпространством, если в представлении (13) y ∈ S , в том числе, если
 y = 0 . Это означает, что в представлении (14) вектор y находится в
линейной оболочке столбцов матрицы D , т.е. y = Du при некотором
u ∈ R k . При представлении линейного многообразия в виде (17) его
совпадение с линейным подпространством возможно в том и только том
случае, если b = 0 .
      В предыдущем разделе рассматривалась система линейных уравнений
вида (18) при b = 0 . Такая система была названа однородной системой
линейных уравнений. Если вектор x является решением такой системы, то
при любом λ вектор λ x также будет ее решением.
      Неоднородной системой линейных уравнений или системой линейных
уравнений общего вида, а также (по умолчанию) просто системой
линейных уравнений будем называть систему вида (18), у которой вектор
b правой части может быть ненулевым, хотя и не исключается случай
b = 0 . Если рассматривается именно случай b ≠ 0 , то он должен
оговариваться.
      Систему уравнений
                            Ax = 0


                                 17

Страницы