Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 16 стр.

     1.3 Линейные многообразия и системы линейных уравнений

      Линейное многообразие. Подмножество L векторов пространства
 n
R , замкнутое относительно операции взятия аффинной комбинации,
называется линейным многообразием. Итак, множество L ⊆ R n будет
линейным многообразием, если для любых векторов x1 , x 2 ∈ L при любом
вещественном λ вектор
                             y = λ x1 + (1 − λ ) x 2
будет находиться в L .
      Задание 12. Доказать, что аффинная оболочка любого множества
векторов R n будет линейным многообразием в R n .
      Задание 13. Доказать, что пересечение двух линейных многообразий в
   n
R будет линейным многообразием.
      Задание 14. Доказать, что если L – линейное многообразие в R n ,
 y ∈ L , то множество
                            S =L− y                                (12)
будет линейным подпространством в R n .
    Получаемое по правилу (12) линейное подпространство называется
линейным подпространством, параллельным линейному многообразию L .
Размерностью линейного многообразия L называется число, равное
размерности линейного подпространства, параллельного L . Размерность
линейного многообразия L будем обозначать dim L.
    Пересечение всех линейных многообразий, содержащих данное
множество Q ∈ R n , называется минимальным линейным многообразием,
содержащим данное множество Q .
    Задание 15. Доказать, что минимальное линейное многообразие,
содержащее данное множество Q , совпадает с аффинной оболочкой
множества Q , т.е. с множеством Aff (Q).
    Из (12) следует, что любое линейное многообразие L можно
рассматривать как сдвиг на некоторый вектор y некоторого линейного
подпространства S
                           L= y+S.                               (13)
Из рассмотренных ранее двух алгебраических форм задания линейного
подпространства получаем две алгебраические формы задания линейного
многообразия.
    Линейное многообразие, задаваемое в виде сдвига линейной
оболочки конечного набора векторов. Из (10), (13) следует, что для
любого линейного многообразия в R n найдутся вектор y ∈ R n и матрица
D размерности n × k при некотором k , такие что
                           L = { y + Dv :v ∈ R k } .             (14)


                                   16