Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 14 стр.

Условие (5) называется системой линейных однородных уравнений. Она
содержит n переменных и m уравнений. Систему (5) можно представить в
таком виде: найти значения x1 , x2 , K, xn , при которых
                           n

                          ∑a x
                          j =1
                                 ij   j   = 0, i = 1, K m ,

где aij – коэффициенты матрицы A . Система (5) имеет очевидное
тривиальное решение x = 0 .
     Для дальнейшего особый интерес представляет множество всех
решений системы (5)
                             S = {x ∈ R n : Ax = 0} .              (6)
      Задание 9. Доказать, что множество решений однородной системы
линейных уравнений является линейным подпространством.
      Определяемое по правилу (6) линейное подпространство называется
нуль-пространством или ядром матрицы A .
      Ортогональные линейные подпространства. Пусть S – некоторое
множество векторов в R n . Обозначим
                             S ⊥ = {x ∈ R n : xT y = 0 ∀y ∈ S }
ортогональное дополнение к S . Оно состоит из векторов R n ,
ортогональных всем векторам S . Особый интерес далее будет
представлять случай, когда исходное множество S является линейным
подпространством.
     Задание 10. Доказать утверждения:
   1) ортогональное дополнение (вообще говоря, к любому множеству из
      R n ) является линейным подпространством,
   2) ортогональное дополнение к ортогональному дополнению линейного
      подпространства S совпадает с исходным подпространством
                             (S ⊥ )⊥ = S ,
   3) обоим линейным подпространствам S и S ⊥ принадлежит только
      начало координат
                             S I S⊥ = 0,
   4) сумма векторов из линейных подпространств S и S ⊥ составляет
      все исходное пространство
                             S + S ⊥ = Rn ,
   5) если S , S ⊥ – линейные подпространства, то для любого x ∈ R n
      существуют единственные y ∈ S , z ∈ S ⊥ , при которых
                             x = y + z.                           (7)
     В выражении (7) вектор y является проекцией вектора x на линейное
подпространство S , т.е. это наименее удаленный от x вектор из S
                             y = arg min { ρ ( x, p ) : p ∈ S }.


                                           14