Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

12
CAB
=
+
задает матрицу C той же размерности mn
×
с коэффициентами
,1,
ij ij ij
cabi m=+ =K , 1, , ,
j
n
=
K
где ,
ij ij
ab – коэффициенты матриц
A
и
B
соответственно.
Заметим, что скалярное произведение векторов ,
x
y из
n
R
можно
рассматривать как произведение матриц
T
и y
,.
T
x
yxy=
Далее будем пользоваться обоими этими обозначениями скалярного
произведения векторов.
Вектор с нулевыми всеми компонентами обозначим 0. Он называется
нулевым вектором или началом координат.
Набор
орт пространства
n
R
обозначим ,1,,.
j
ej n= K Орта
j
e имеет
j
-ю компоненту, равную единице, а остальные (1)n
−
компонент равные
нулю .
Векторы ,1,,
in
x
Ri t∈=K при 2t ≥ называются линейно
зависимыми
, если некоторые из них выражаются в виде линейной
комбинации других. Векторы ,1,,, 1
i
x
itt
=
≥K будут линейно
независимыми
, если ни один из них не выражается в виде линейной
комбинации других.
Пусть Q – некоторое множество векторов
n
R
. Набор векторов
,1,,
i
x
Qi t∈=K называется максимальным набором линейно
независимых векторов
из Q , если эти векторы линейно независимы и
дополнение к ним какого-либо вектора из Q делает их линейно
зависимыми.
Задание 2. Доказать, что у любого максимального набора линейно
независимых векторов множества
n
QR⊆ одно и то же число этих
векторов.
Столбцы матрицы
A
можно рассматривать как набор векторов. Число
векторов в максимальном наборе линейно независимых столбцов матрицы
A
называется рангом матрицы и обозначается rank A.
1.2 Линейные подпространства
и однородные системы линейных уравнений
Линейное подпространство. Подмножество S векторов
пространства
n
R
, замкнутое относительно операции взятия линейной
комбинации, называется линейным подпространством. Другими словами,
множество
n
SR⊆
будет линейным подпространством, если для любых
векторов
12
,
x
xS∈ и любых вещественных
12
,
λ
λ
вектор 
                            C = A+ B
задает матрицу C той же размерности m × n с коэффициентами
                      cij = aij + bij , i = 1,K m , j = 1,K, n,
где aij , bij – коэффициенты матриц A и B соответственно.
    Заметим, что скалярное произведение векторов x, y из R n можно
рассматривать как произведение матриц xT и y
                                  x, y = xT y.
Далее будем пользоваться обоими этими обозначениями скалярного
произведения векторов.
     Вектор с нулевыми всеми компонентами обозначим 0. Он называется
нулевым вектором или началом координат.
     Набор орт пространства R n обозначим e j , j = 1,K, n. Орта e j имеет
 j -ю компоненту, равную единице, а остальные (n − 1) компонент равные
нулю .
     Векторы    xi ∈ R n , i = 1, K, t    при t ≥ 2 называются линейно
зависимыми, если некоторые из них выражаются в виде линейной
комбинации других. Векторы xi , i = 1, K, t , t ≥ 1 будут линейно
независимыми, если ни один из них не выражается в виде линейной
комбинации других.
     Пусть Q – некоторое множество векторов R n . Набор векторов
xi ∈ Q, i = 1, K, t называется максимальным набором линейно
независимых векторов из Q , если эти векторы линейно независимы и
дополнение к ним какого-либо вектора из Q делает их линейно
зависимыми.
     Задание 2. Доказать, что у любого максимального набора линейно
независимых векторов множества Q ⊆ R n одно и то же число этих
векторов.
     Столбцы матрицы A можно рассматривать как набор векторов. Число
векторов в максимальном наборе линейно независимых столбцов матрицы
 A называется рангом матрицы и обозначается rank A.

                   1.2 Линейные подпространства
             и однородные системы линейных уравнений

    Линейное          подпространство.   Подмножество     S векторов
                   n
пространства R , замкнутое относительно операции взятия линейной
комбинации, называется линейным подпространством. Другими словами,
множество S ⊆ R n будет линейным подпространством, если для любых
векторов x1 , x 2 ∈ S и любых вещественных λ1 , λ2 вектор


                                    12

Страницы