Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 10 стр.

    Пусть Q – некоторое множество векторов из R n . Линейной
оболочкой Q будем называть множество векторов, получаемых в виде
линейной комбинации векторов из Q . Аффинной оболочкой Q будем
называть совокупность аффинных комбинаций векторов из Q . Конусной
оболочкой Q будем называть множество конусных комбинаций векторов
из Q . Выпуклой оболочкой Q будем называть множество выпуклых
комбинаций векторов из Q . Множества линейных, аффинных, конусных и
выпуклых комбинаций векторов из Q будем обозначать:
                        ⎧ t                                   ⎫
             Lc(Q) = ⎨∑ λi q i : q i ∈ Q, λi ∈ R, i = 1,K, t ⎬ ,
                        ⎩ i =1                                ⎭
                         ⎧   t                                    t
                                                                           ⎫
             Aff (Q) = ⎨∑ λi q : q ∈ Q, λi ∈ R, i = 1,K, t , ∑ λi = 1⎬ ,
                                  i  i

                         ⎩ i =1                                 i =1       ⎭
                           ⎧    t
                                                                          ⎫
             Cone(Q ) = ⎨∑ λi q i : q i ∈ Q, λi ∈ R, λi ≥ 0, i = 1,K, t ⎬ ,
                           ⎩ i =1                                         ⎭
                   ⎧ t                                                 t
                                                                             ⎫
           Co(Q) = ⎨∑ λi q i : q i ∈ Q, λi ∈ R, λi ≥ 0, i = 1,K, t , ∑ λi = 1⎬ .
                   ⎩ i =1                                            i =1    ⎭
Здесь t – любое натуральное число.
    Операции умножения на скаляр и сложения можно распространить
для множеств векторов.
    Если Q – некоторое множество в R n , λ – вещественное число, то λQ
будет множеством в R n , определяемым по правилу
                                  λQ = {λ q : q ∈ Q}.
     Если X и Y множества R n , то
                            X + Y = {z = x + y : x ∈ X , y ∈ Y }
– множество сумм всевозможных пар векторов из X и Y .
     Если x – вектор, Y – множество векторов в R n , то
                            x + Y = {x = x + y : y ∈Y }
 – множество векторов, получаемых в результате «сдвига» на вектор x
множества Y .
     Задание 1. Дать геометрическую интерпретацию в двумерном случае
(т.е. в пространстве R 2 ) операций умножения скаляра на вектор,
сложения векторов, а также проиллюстрировать (на примере исходного
множества Q из одного, двух и трех векторов) понятия линейной,
аффинной, конусной и выпуклой оболочек.
     Скалярное произведение векторов x и y из R n обозначается x, y .
Оно составляет вещественную величину, определяемую по правилу



                                      10