Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 8 стр.

(точнее, совсем не уделяется) внимания в литературе. Исторически
сложилось так, что больше внимания уделяется их антиподам – решениям
с максимальными наборами активных ограничений.
    В главе 5 на базе теорем об альтернативных системах линейных
неравенств излагаются основные факты теории двойственности для задач
линейного программирования и задачи минимизации выпуклой
дифференцируемой функции при линейных ограничениях. Это
демонстрирует основополагающую роль теорем об альтернативных
системах линейных неравенств для теории двойственности в оптимизации.
    Шестая глава посвящена методам решения систем линейных
неравенств на основе минимизации норм вектора невязок исходной и
альтернативной системы линейных неравенств. На основе этих двух
постановок задач безусловной минимизации кусочно-квадратичных
выпуклых функций могут быть сконструированы эффективные численные
методы решения или идентификации случая несовместности систем
линейных неравенств. При этом используется активно развиваемый в ряде
работ последнего времени Голикова и Евтушенко «альтернативный
подход» к решению систем линейных неравенств, в т.ч. для поиска
решения систем линейных неравенств с минимальной нормой. В
заключении приводится алгоритм решения нелинейных систем неравенств
на базе итеративной линеаризации.
    При подготовке данного учебного пособия авторы опирались на
фундаментальные монографии по линейным неравенствам С.Н. Черникова
[15] и И.И. Еремина [7]. Здесь также отражены некоторые результаты
научных исследований авторов, выполненных в рамках проекта РФФИ №
05-01-00587.
    Авторы выражают благодарность Н.Н. Астафьеву, А.И. Беникову,
А.И. Голикову, Ю.Г. Евтушенко, И.И. Еремину за полезные обсуждения
материалов, представленных в данном учебном пособии.

     В книге используются общепринятые обозначения, в т.ч.:
R n – евклидово n-мерное пространство;
xT y или x, y – скалярное произведение векторов x ∈ R n и y ∈ R n ;
∅ – пустое множество;
∈ – принадлежит;
⊆ – включено или совпадает;
⊂ – строго включено;
arg min f ( x ) , x ∈ X – один из элементов множества Х, при котором
достигается минимум функции f на этом множестве;
Arg min f ( x ) , x ∈ X – все подмножество элементов из множества Х, где
достигается минимум функции f на данном множестве.


                                    8