Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 6 стр.

рассматривается в конце нашей книги. Более глубоко метод линеаризации
для решения систем нелинейных уравнений и задач нелинейного
программирования рассматривается в [13] и ряде других работ по методам
оптимизации и вычислительной математике.
     Первая глава носит справочный характер. Здесь излагаются
исходные определения и основополагающие факты линейной алгебры,
которые необходимы для последующих глав. Специально используется
максимально упрощенный подход в определениях, чтобы сделать их
доступными для студентов с разным уровнем подготовки в линейной
алгебре.
     Эта глава ни в коем случае не претендует на полное изложение
линейной алгебры. Она содержит только необходимые для дальнейшего
факты. Вместе с тем представляется, что даже студентам, хорошо
знающим линейную алгебру, полезно просмотреть эту главу для
восстановления и систематизации знаний. Для дальнейшего важны
вводимые в первой главе обозначения, которые могут отличаться от
используемых в других учебниках.
     Отдельные важные и несложно доказываемые математические факты
в данной главе, как и в последующих, сформулированы в виде заданий для
самостоятельного доказательства студентами.
     Вторая глава посвящена изучению строения множества решений
системы линейных неравенств. В этой главе доказывается, что множество
решений системы линейных неравенств представляется в виде суммы двух
множеств:
        1) выпуклой оболочки конечного числа решений системы
           линейных неравенств с максимальным набором активных
           ограничений;
        2) многогранного конуса рецессивных направлений для данной
           системы;
     Это является обобщением известного факта о строении множества
решений системы линейных уравнений. Это множество, как известно,
представляется в виде суммы любого решения данной системы с
линейным подпространством решений однородной системы линейных
уравнений, порожденной данной системой.
     В данной главе доказывается также, что многогранный конус
рецессивных направлений представляется в виде суммы двух множеств:
конечного многогранного конуса и линейного подпространства,
состоящего из множества решений однородной системы линейных
уравнений, порождаемой данной системой линейных неравенств.
     Рассматриваются особенности строения систем линейных неравенств
в отдельных частных случаях.
     Третья глава посвящена доказательству и систематизированному
изложению многочисленных вариантов формулировок теорем об


                                  6