Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 7 стр.

альтернативных системах линейных неравенств. Эти теоремы имеют
фундаментальное значение для теории и многих приложений линейных
неравенств. Их аналогом в теории систем линейных уравнений является
теорема Фредгольма, которая приведена в этой главе как частный случай
теорем об альтернативных системах линейных неравенств.
     При изложении теорем об альтернативных системах линейных
неравенств в данной книге были решены две методические проблемы.
     Одной из проблем является выбор исходной формулировки теоремы
об альтернативных системах, которая была бы наглядна и хорошо
запоминалась. Здесь в качестве отправного пункта для вывода других
вариантов теоремы об альтернативных системах линейных неравенств
используется геометрическая форма теоремы, предложенная в этих целях в
[5, 6].
     Другой педагогической проблемой является выбор эффективного
(краткого, естественного) метода доказательства. Обычно теоремы об
альтернативных системах линейных неравенств (или равносильные им
утверждения) доказываются через математическую индукцию [1, 2, 7, 8],
что, как отмечал еще Гейл [1], громоздко и ненаглядно.
     Здесь приводится компактное доказательство из [5, 6],
непосредственно вытекающее из условий оптимальности для задачи
минимизации выпуклой функции на линейном подпространстве.
     Приводится ряд формулировок теорем об альтернативных системах
линейных неравенств. Многие из этих теорем приводятся с указанием
авторов, впервые их сформулировавших. В этом мы опираемся на
фундаментальную      работу Черникова по линейным неравенствам и
обзорные статьи Бройдена [9, 10].
     Важное методическое значение имеют излагаемые в главе 3 способы
конструирования теорем об альтернативных системах линейных
неравенств. Запоминать огромное многообразие существующих и
потенциально возможных формулировок теорем нет необходимости.
Важно понять приемы, которые приводят к разным формулировкам.
     В четвертой главе рассматриваются три области приложения теорем
об альтернативных системах линейных неравенств:
        1) в качестве конструктивных критериев выявления случаев
           несовместности систем линейных неравенств;
        2) для выявления избыточных неравенств, исключение которых не
           меняет множества решений;
        3) для идентификации решений систем линейных неравенств с
           минимальным набором активных ограничений.
     Решения систем линейных неравенств (в т.ч. задач линейного
программирования) с минимальным набором активных ограничений
представляет интерес для многих приложений, обсуждаемых в данной
книге. Вместе с тем, таким решениям уделяется неоправданно мало


                                  7