Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

9
Глава 1. Элементы линейной алгебры
Материал данной главы носит справочный характер. Здесь приводятся
основные определения и исходные факты линейной алгебры, которые
потребуются в дальнейшем при изложении теории и методов решения
линейных неравенств.
1.1 Векторы и матрицы
Обозначим
n
R
– множество n -мерных векторов. Его будем называть
n -мерным пространством, где n – размерность пространства, некоторое
целое положительное число. Визуально вектор
n
x
R
∈
представляется как
столбец вещественных чисел
1, , ,
,j
j
n
x
=
K
которые называются
компонентами данного вектора. Множество вещественных чисел будем
обозначать
1
R
или просто
R
. Приведем основные, необходимые нам
операции с векторами.
Умножение на скаляр. Если
n
x
R
,
λ
– вещественное число, то
выражение
yx
λ
=
задает вектор
n
yR∈ с компонентами
,1,.
jj
yxj n
λ
=
= K
Сложение векторов. Если
x
и y векторы
n
R
, то выражение
zxy
=
+
задает вектор
n
zR∈ с компонентами
,1,,.
jjj
zxyj n
=
+=K
Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов
in
x
R∈ с весами (весовыми коэффициентами)
,1,,
i
it
λ
=
K
называется
вектор
1
.
1
1
t
it
it
i
yxx x
λ
λλ
=
==++
∑
K (1)
Здесь
i
λ
– любые вещественные числа.
Аффинной комбинацией векторов является линейная комбинация
(1) при условии, что
1
1.
t
i
i
λ
=
=
∑
(2)
Конусной комбинацией векторов является линейная комбинация (1)
при условии, что
0, 1, , .
i
it
λ
≥=K (3)
Выпуклой комбинацией векторов называется линейная комбинация
(1) при выполнении обоих условий (2) и (3) на весовые коэффициенты. 
Глава 1. Элементы линейной алгебры

    Материал данной главы носит справочный характер. Здесь приводятся
основные определения и исходные факты линейной алгебры, которые
потребуются в дальнейшем при изложении теории и методов решения
линейных неравенств.
                      1.1 Векторы и матрицы

     Обозначим R n – множество n -мерных векторов. Его будем называть
n -мерным пространством, где n – размерность пространства, некоторое
целое положительное число. Визуально вектор x ∈ R n представляется как
столбец вещественных чисел x j, j = 1,K, n, которые называются
компонентами данного вектора. Множество вещественных чисел будем
обозначать R1 или просто R . Приведем основные, необходимые нам
операции с векторами.
     Умножение на скаляр. Если x ∈ R n , λ – вещественное число, то
выражение
                             y = λx
задает вектор y ∈ R n с компонентами
                             y j = λ x j , j = 1, K n.
     Сложение векторов. Если x и y векторы R n , то выражение
                           z = x+ y
задает вектор z ∈ R с компонентами
                   n

                           z j = x j + y j , j = 1,K, n.
     Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов
x ∈ R n с весами (весовыми коэффициентами) λi , i = 1,K, t называется
  i


вектор
                                  t
                           y = ∑ λi xi = λ1 x1 + K + λt xt .       (1)
                                 i =1
Здесь λi – любые вещественные числа.
     Аффинной комбинацией векторов является линейная комбинация
(1) при условии, что
                           t
                          ∑ λi = 1.                                (2)
                          i =1
     Конусной комбинацией векторов является линейная комбинация (1)
при условии, что
                          λi ≥ 0, i = 1,K, t.                       (3)
     Выпуклой комбинацией векторов называется линейная комбинация
(1) при выполнении обоих условий (2) и (3) на весовые коэффициенты.


                                        9

Страницы