Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 13 стр.

                            y = λ1 x1 + λ2 x 2
будет находиться в S . Максимальный набор линейно независимых
векторов линейного подпространства S называется базисом этого
подпространства. Число векторов в максимальном наборе линейно
независимых векторов линейного подпространства будем называть
размерностью       этого   подпространства.         Размерность    линейного
подпространства будем обозначать dim S .
      Задание 3. Доказать, что линейная оболочка любого множества
векторов из R n будет линейным подпространством.
      Задание 4. Доказать, что линейная оболочка базиса линейного
подпространства совпадает с линейным подпространством.
      Задание 5. Доказать равенство
                            rank A = rank AT ,
которое можно интерпретировать как совпадение числа максимального
набора линейно независимых столбцов с числом максимального набора
линейно независимых строк любой матрицы.
      Задание 6. Пусть A – матрица размерности m × n . Доказать, что
                            rank A ≤ min{m, n}.
      Пересечение всех линейных подпространств, содержащих данное
множество Q , называется минимальным линейным подпространством,
содержащим Q .
      Задание 7. Доказать, что минимальное линейное многообразие,
содержащее данное множество Q , совпадает с линейной оболочкой Q .
      Область значений матрицы. Пусть D – матрица размерности n × k .
Умножение этой матрицы на любой вектор ν из R k дает вектор Dν из
R n . Используя разные значения вектора ν из R k , получим множество
векторов из R n
                            S = {x = Dν : ν ∈ R k } ,                    (4)
которое называется областью значений матрицы D .
      Задание 8. Доказать, что область значений матрицы является
линейным подпространством. Причем максимальный набор линейно
независимых       столбцов    матрицы          составляет     базис    этого
подпространства.
      Справедливо и обратное: любое линейное подпространство можно
представить в виде области значений некоторой матрицы. Действительно,
если столбцы матрицы D состоят из векторов, образующих базис
линейного подпространства, то, согласно заданию 4, область значений
матрицы D совпадает с этим подпространством.
      Однородная система линейных уравнений. Пусть A – матрица
m × n . Рассмотрим задачу поиска вектора x ∈ R n , при котором
                            Ax = 0 .                                     (5)

                                    13