Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 15 стр.

UptoLike

15
Вектор z в выражении (7) является проекцией вектора
x
на линейное
подпространство
.S
Проекцией множества Q из
n
R
на линейное многообразие S будем
называть множество проекций на S всех векторов из Q .
Поскольку линейные подпространства S и S
симметричны по
свойствам, то их будем называть взаимно ортогональными (или просто
ортогональными) линейными подпространствами.
Алгебраическая форма задания ортогональных подпространств.
Любая матрица
A
размерности mn
×
при любом натуральном m
порождает в
n
R
два взаимно-ортогональных линейных подпространства:
нуль-пространство и область значений транспонированной матрицы
T
A
:
{:0}
n
SxRAx
=
∈=, (8)
{:}
Tm
SxAuuR
== . (9)
Задание 11. Доказать, что, действительно, нуль-пространство
любой матрицы и область значений транспонированной к ней матрицы
порождают взаимно ортогональные подпространства. На основе этого
доказать, что любое линейное подпространство можно представить в
виде нуль-пространства некоторой матрицы.
В приведенных выше утверждениях следует выделить два момента.
Во-первых, любая матрица по правилам (8), (9) порождает взаимно
ортогональные подпространства. Во-вторых, любым взаимно
ортогональным подпространствам можно поставить в соответствие
некоторую матрицу (неединственную), порождающую эти
подпространства.
Само исходное подпространство S можно было определить не только
как нуль-пространство матрицы
A
, но и как линейную оболочку столбцов
некоторой матрицы, как это было сделано в (4). Тогда
{:}
k
SxD R
νν
== , (10)
{:0}
nT
SxRDx
∈=. (11)
Само исходное пространство
n
R
является линейным
подпространством. В качестве ортогонального дополнения к
n
R
служит
пространство, состоящее из одного нулевого вектора, имеющее нулевую
размерность.
Вектор z в выражении (7) является проекцией вектора x на линейное
подпространство S ⊥ .
     Проекцией множества Q из R n на линейное многообразие S будем
называть множество проекций на S всех векторов из Q .
     Поскольку линейные подпространства S и S ⊥ симметричны по
свойствам, то их будем называть взаимно ортогональными (или просто
ортогональными) линейными подпространствами.
     Алгебраическая форма задания ортогональных подпространств.
Любая матрица A размерности m × n при любом натуральном m
порождает в R n два взаимно-ортогональных линейных подпространства:
нуль-пространство и область значений транспонированной матрицы AT :
                           S = {x ∈ R n : Ax = 0} ,                    (8)
                           S ⊥ = {x = AT u :u ∈ R m } .                (9)
     Задание 11. Доказать, что, действительно, нуль-пространство
любой матрицы и область значений транспонированной к ней матрицы
порождают взаимно ортогональные подпространства. На основе этого
доказать, что любое линейное подпространство можно представить в
виде нуль-пространства некоторой матрицы.
     В приведенных выше утверждениях следует выделить два момента.
Во-первых, любая матрица по правилам (8), (9) порождает взаимно
ортогональные     подпространства.        Во-вторых,       любым    взаимно
ортогональным подпространствам можно поставить в соответствие
некоторую      матрицу     (неединственную),            порождающую      эти
подпространства.
     Само исходное подпространство S можно было определить не только
как нуль-пространство матрицы A , но и как линейную оболочку столбцов
некоторой матрицы, как это было сделано в (4). Тогда
                           S = {x = Dν :ν ∈ R k } ,                    (10)
                           S ⊥ = {x ∈ R n : DT x = 0} .                (11)
     Само     исходное    пространство           Rn     является  линейным
подпространством. В качестве ортогонального дополнения к R n служит
пространство, состоящее из одного нулевого вектора, имеющее нулевую
размерность.




                                    15