Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

21
1.5 Конусы
Множество Q из
n
R
называется конусом, если при любом 0
λ
>
.QQ
λ
=
Если при этом 0 Q∉ , то множество Q будет называться
тупым конусом.
Если 0 Q∈ , то конус Q будем называть
заостренным или просто конусом.
Всегда оговариваться будет только тупой конус.
Выпуклым конусом (заостренным или тупым) будем называть конус
(заостренный или соответственно тупой), являющийся выпуклым
множеством.
Задание 24. Доказать, что множество Q из
n
R
будет выпуклым
конусом в том и только том случае, если это множество совпадает со
своей конусной оболочкой, т.е. если и только если
() .Cone Q Q
=
Множество Q называется
многогранным конусом, если оно
является конусной оболочкой конечного числа векторов в
n
R
, т.е. если
существуют векторы ,1,,
in
aRi t∈=K при некотором t , такие что
{, 1, ,}.
i
QConeai t==K
Выпуклый конус размерности 1 является лучом, выходящий из начала
координат. Пусть
z – вектор
n
R
, тогда луч, выходящий из начала
координат образованный этим вектором составляет множество
{: 0}.
z
Pz
λλ
+
=
≥
Отметим, что () (0, ).Pz L z
+
=
Задание 25. Доказать, что многогранный конус является выпуклой
оболочкой конечного числа лучей, выходящих из начала координат.
Важным примером многогранного конуса является множество
векторов
n
R
с неотрицательными всеми компонентами. Это множество
обозначим
{:0}
nn
RxRx
+
=
∈≥.
Образующими этот конус является набор орт ,1,,
j
ej n= K .
Множество векторов с положительными всеми компонентами,
которое обозначим
{:0}
nn
RxRx
⊕
=
∈>,
является выпуклым, но не многогранным конусом.
Выше и далее выражения 0
x
≥ и 0
x
> для
n
R
∈
означают, что у
вектора
x
все компоненты неотрицательные 0, 1, ,
j
x
jn≥=K и,
соответственно, все компоненты положительные 0, 1, ,
j
x
jn>=K . 
                                 1.5 Конусы

     Множество Q из R n называется конусом, если при любом λ > 0
                             λQ = Q.
Если при этом 0 ∉ Q , то множество Q будет называться тупым конусом.
Если 0 ∈ Q , то конус Q будем называть заостренным или просто конусом.
Всегда оговариваться будет только тупой конус.
     Выпуклым конусом (заостренным или тупым) будем называть конус
(заостренный или соответственно тупой), являющийся выпуклым
множеством.
     Задание 24. Доказать, что множество Q из R n будет выпуклым
конусом в том и только том случае, если это множество совпадает со
своей конусной оболочкой, т.е. если и только если
                             Cone(Q) = Q.
     Множество Q называется многогранным конусом, если оно
является конусной оболочкой конечного числа векторов в R n , т.е. если
существуют векторы a i ∈ R n , i = 1,K, t при некотором t , такие что
                             Q = Cone{a i , i = 1, K, t}.
     Выпуклый конус размерности 1 является лучом, выходящий из начала
координат. Пусть z – вектор R n , тогда луч, выходящий из начала
координат образованный этим вектором составляет множество
                             P+z = {λ z : λ ≥ 0}.
Отметим, что P+ ( z ) = L(0, z ).
     Задание 25. Доказать, что многогранный конус является выпуклой
оболочкой конечного числа лучей, выходящих из начала координат.
     Важным примером многогранного конуса является множество
векторов R n с неотрицательными всеми компонентами. Это множество
обозначим
                             R+n = {x ∈ R n : x ≥ 0} .
Образующими этот конус является набор орт e j , j = 1,K, n .
     Множество векторов с положительными всеми компонентами,
которое обозначим
                             R⊕n = {x ∈ R n : x > 0} ,
является выпуклым, но не многогранным конусом.
     Выше и далее выражения x ≥ 0 и x > 0 для x ∈ R n означают, что у
вектора x все компоненты неотрицательные x j ≥ 0, j = 1,K, n и,
соответственно, все компоненты положительные x j > 0, j = 1,K, n .




                                    21

Страницы