Математика. Абубакиров Н.Р - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

100
Обратно, если для произвольной функции
()fx
, имеющей бесконечное
число производных в точке
xa
, построить ряд
()
0
(
()
!
)
k
k
k
f
k
a
xa
, такой ряд
называется рядом Тейлора функции
()fx
. Формула Тейлора, о которой мы
говорили раньше, является частной суммой ряда Тейлора.
Ряды Тейлора служат для приближения многих функций. Дело в том, что
арифметические операции, которые проводятся точно – это операции
умножения на число (а следовательно, и возведение в целую положительную
степень) и сложение. Поэтому вычисление значений многих известных
функций, например,
,sin ,cos ,ln
x
e x x x
, сводится к вычислению значений
близких к этим функциям многочленов – частных сумм соответствующих
рядов Тейлора. Эти суммы заложены в программу вычислений наших
калькуляторов.
Частные суммы ряда Тейлора
()
0
(0)
!
k
n
k
k
f
k
x
для произвольной функции
()fx
можно получать с помощью программы Maxima. Для того чтобы получить
ряд
()
0
(
()
!
)
k
n
k
k
f
k
a
xa
для конкретной функции
()fx
, следует набрать
taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.
Пример. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням
для функции
ln x
x
следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим
2 3 4 5 6
7
-1-3( -1) /2 11( -1) /6-25( -1) /12 137( -1) /60-49( -1) /20
363( -1) /140 .
x x x x x x
x

Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией
ln x
x
(синий график) на одном рисунке. Для этого введем load(draw);
draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red,
explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2)) 
     Обратно, если для произвольной функции f ( x) , имеющей бесконечное
                                                             
                                                                   f ( k ) ( a)
число производных в точке x  a , построить ряд             
                                                            k 0       k!
                                                                                ( x  a)k , такой ряд

называется рядом Тейлора функции f ( x) . Формула Тейлора, о которой мы
говорили раньше, является частной суммой ряда Тейлора.

    Ряды Тейлора служат для приближения многих функций. Дело в том, что
арифметические операции, которые проводятся точно – это операции
умножения на число (а следовательно, и возведение в целую положительную
степень) и сложение. Поэтому вычисление значений многих известных
функций, например, ex ,sin x,cos x,ln x , сводится к вычислению значений
близких к этим функциям многочленов – частных сумм соответствующих
рядов Тейлора. Эти суммы заложены в программу вычислений наших
калькуляторов.
                                           n
                                                 f ( k ) (0) k
     Частные суммы ряда Тейлора           
                                          k 0       k!
                                                            x для произвольной функции

 f ( x) можно получать с помощью программы Maxima. Для того чтобы получить
       n
         f ( k ) ( a)
ряд                  ( x  a)k для конкретной функции f ( x) , следует набрать
    k 0   k!
taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.

     Пример. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням ( x 1)
                 ln x
для функции           следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим
                   x
x -1-3( x -1)2 / 2 11( x -1)3 / 6- 25( x -1)4 /12 137( x -1)5 / 60- 49( x -1)6 / 20 
363( x -1)7 /140  .

     Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией
ln x
     (синий график) на одном рисунке. Для этого введем load(draw);
 x
draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red,
explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2))




                                                 100

Страницы