Математика. Абубакиров Н.Р - 102 стр.

гармоник называется гармоническим анализом. В случае, когда такая сумма
бесконечна, мы получаем тригонометрический ряд, называемый рядом Фурье.

     Таким образом, непрерывная периодическая функция f ( x) представима
в виде следующего тригонометрического ряда Фурье:
                 a0          2 kx          2 kx , где
      f ( x)        ak cos        bk sin
                 2 k 1        T              T
                       2 kx                                             2 kx
        T /2                                                T /2
     2                                                 2
ak     
     T T /2
             f ( x)cos
                        T
                             dx, k  0,1,2,.... , bk     
                                                       T T /2
                                                               f ( x)sin
                                                                          T
                                                                               dx, k  1,2,....

    В случае, когда периодическая функция имеет точки разрыва, ее также
можно раскладывать в ряд Фурье, но равенство функции и суммы ряда будет
только в точках непрерывности функции. В точках разрыва ряд Фурье будет
сходиться к полусумме значений функции слева и справа от точки разрыва:
a0          2 kx0          2 kx0 1
    ak cos         bk sin        ( f ( x0  0)  f ( x0  0)) .
2 k 1         T               T    2



    Возможно разложение функции в ряд Фурье с помощью программы
Maxima. Мы получим все коэффициенты ряда Фурье для функции f ( x) ,
заданной на отрезке [l, l ] и l -периодически продолженной на всю
вещественную ось, если введем load(fourie); fourier(f(x),x,l) и нажмем
Shift+Enter.

      Пример. Получим коэффициенты ряда Фурье для функции
f ( x)  ex ,   x   . Для этого введем load(fourie); fourier(%e^x,x,%pi),
нажмем Shift+Enter и получим следующие формулы

     a0  (e - e ) /  ,
     an  (n sin  n /(e n2  e )  e n sin  n /(n2 1) 
      cos  n /(e n2  e )  e cos  n /(n2 1)) /  ,
      bn  (sin  n /(e n2  e )  e  sin  n /(n2 1) 
     n cos  n /(e n2  e )  e n cos  n /(n 2 1)) /  .


    Мы видим, что коэффициенты содержат выражения sin  n  0 и
cos n  (1)n . Поэтому мы можем преобразовать полученные выражения:


                                              102