Математика. Абубакиров Н.Р - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

103
22
22
0
( 1)
( 1)
1
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 1)
,
( ),
( ).
n
n
n
n
e
e n n
e
e n n
ee
a
a
n
b




Для того, чтобы не только вычислить коэффициенты ряда Фурье, но и
получить разложение функции
()fx
, заданной на отрезке
[ , ]ll
и
l
-
периодически продолженной на всю вещественную ось в ряд Фурье, следует
ввести load(fourie); totalfourier (f(x),x,l) и нажать Shift+Enter.
Пример. Для разложения в ряд Фурье функции из предыдущего примера
введем load(fourie); totalfourier (%e^x, x, %pi). При этом компьютер найдет
разложение
22
11
.
( 1) sin ( 1) cos
( 1)( 1) ( 1)( 1)
11
( 1)( 1)
2
nn
nn
n nx nx
e e e e e e
nn
e e e









Следует отметить, что частные суммы ряда Фурье приближают исходную
функцию не в конкретных точках, а «в среднем по отрезку». Сравним заданную
функцию
, -
x
y e x

, и 9-ю частную сумму ряда Фурье на одном
графике. Для этого сначала введем функцию
()gx
, совпадающую с 9-й частной
суммой, а затем нарисуем функцию
x
e
(черным цветом) и функцию
(красным цветом) на одном графике над отрезком
[ , ]

:
g(x):=-(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1)*sum((n*(-
1)^n*sin(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-
1)*(%e^%pi+1)*sum(((-1)^n*cos(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+
(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1))/(2*%pi);
load(draw); draw2d(explicit(%e^x,x,-%pi,%pi), color=red, explicit(g(x),x,-
%pi,%pi)).
В результате получим картину 
              e  e
     a0                    ,
                    
              (1) n    1        e
     an                (            ),
               e (n2  1) (n2  1)
             (1) n n       1       e
        bn           (  2              ).
                       e (n  1) (n2  1)


    Для того, чтобы не только вычислить коэффициенты ряда Фурье, но и
получить разложение функции f ( x) , заданной на отрезке [l, l ] и l -
периодически продолженной на всю вещественную ось в ряд Фурье, следует
ввести load(fourie); totalfourier (f(x),x,l) и нажать Shift+Enter.

    Пример. Для разложения в ряд Фурье функции из предыдущего примера
введем load(fourie); totalfourier (%e^x, x, %pi). При этом компьютер найдет
разложение
                                                                             
                                            n(1)n sin nx                     (1)n cos nx
        e (e 1)(e 1)                                e (e  1)(e
                                                                         1) 
                                       n1    n2  1                       n1    n2  1 
                                                                        
                             
        e (e 1)(e 1)
                      .
             2
    Следует отметить, что частные суммы ряда Фурье приближают исходную
функцию не в конкретных точках, а «в среднем по отрезку». Сравним заданную
функцию y  ex , -  x   , и 9-ю частную сумму ряда Фурье на одном
графике. Для этого сначала введем функцию g ( x) , совпадающую с 9-й частной
суммой, а затем нарисуем функцию e x (черным цветом) и функцию g ( x)
(красным цветом) на одном графике над отрезком [ , ] :

    g(x):=-(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1)*sum((n*(-
1)^n*sin(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-
1)*(%e^%pi+1)*sum(((-1)^n*cos(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+

    (%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1))/(2*%pi);

    load(draw); draw2d(explicit(%e^x,x,-%pi,%pi), color=red, explicit(g(x),x,-
%pi,%pi)).

    В результате получим картину



                                                       103

Страницы