Математика. Абубакиров Н.Р - 105 стр.

    Мы сами можем убедиться в правильности формулы Эйлера, если
используем известные разложения функций ex , sin x, cos x в ряды Тейлора по
степеням x :

                 t 2 t3 t 4 t5 t6 t7              t2 t4 t6
      eit  1 i  t 
                     i   i   i  .....  (1     ...) 
                 2! 3! 4! 5! 6! 7!                2! 4! 6!
            t3 t5 t7
      i(t     ....)  cos t  i sin t.
            3! 5! 7!


    Итак, комплексные числа – это числа, для геометрической интерпретации
которых недостаточно одной прямой, а нужна вторая прямая, где можно было
бы размещать вторую координату – коэффициент при мнимой единице.
Поскольку элементы, задающиеся парой вещественных координат, проще
всего представлять точками декартовой плоскости, наилучшей
интерпретацией множества комплексных чисел является плоскость.

    Представим себе декартову плоскость, в которой роль оси Oх исполняет
вещественная прямая, а роль оси Oу – «мнимая ось», вдоль которой
откладывают коэффициент при чисто мнимой единице i. Предположим, мы
решаем уравнение t 2  2t  5  0 с отрицательным дискриминантом. Применяя
формулу для получения корней этого уравнения, мы получим t1,2  1  4 .
Обозначая, следуя Эйлеру, 1  i , имеем t1,2  1 2i . В комплексной
плоскости два этих комплексных числа выглядят так:




    Таким образом, комплексное число z представляет собой сумму

                                z = x + i y,

где компонента x называется вещественной частью z (x = Re z), компонента y
называется мнимой частью z (y = Im z). Два комплексных числа равны тогда и
только тогда, когда у них совпадают как действительные, так и мнимые части.
Два комплексных числа называются сопряженными, если у них совпадают
действительные части, а мнимые части различаются знаками. На нашем
                                      105