Математика. Абубакиров Н.Р - 99 стр.

                                                           
       Пример. Сосчитаем сумму ряда                        
                                                           k 1
                                                                 k
                                                                q,   | q | 1 . Имеем согласно формуле

                                               q n 1            n
суммы геометрической прогрессии sn   q  q         . Поскольку qn  0 при
                                                                     k

                                     k 1      q 1
                 
                         q
n   , получим  q k =      .
                k 1    1 q

       Заметим, что при | q | 1 соответствующий ряд расходится.

     Необходимым признаком сходимости числового ряда является условие
lim a  0 . Заметим, что необходимое условие сходимости не является
n n
                                                
                                                     1
достаточным. Например, ряд                      
                                                k 1 k
                                                       , называемый гармоническим рядом,

расходится.

Степенные ряды
                                                                         
       Степенным рядом называется ряд вида                               
                                                                         k 0
                                                                              ck ( x  a)k . Числа ck , k  0,1,... ,

называются коэффициентами степенного ряда. Поскольку простой заменой
                                                                                                     
переменной x  x  a исходный степенной ряд превращается в ряд                                      
                                                                                                    k 0
                                                                                                         ck xk ,
                                                                                
можно рассматривать только степенные ряды вида                                 
                                                                               k 0
                                                                                    ck xk . Очевидно, что

такой ряд обязательно сходится в точке x  0 .

Связь между коэффициентами степенного ряда и его суммой
                        
       Пусть            
                        k 0
                             ck ( x  a)k  s( x),   | x  a | R . Положим x  a , тогда получим:

c0  s(a) .

       Возьмем производную от членов ряда и его суммы:


k 1
     ck k ( x  a)k 1  s( x),       | x  a | R, и положим x  a . Тогда c1  s(a) .

Продолжая процесс дифференцирования, получим: n!cn  s( n) (a) , т.е.,
       s ( n ) ( a)
cn                 .
            n!



                                                            99