Математика. Абубакиров Н.Р - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44
0 CByAx
и
0
111
CyBxA
. Необходимо найти координаты общей
точки этих прямых. Для этого нужно решить систему уравнений
0
0
111
CyBxA
CByAx
.
Применим метод Крамера. Если основной определитель системы
0
11
BA
BA
, система имеет единственное решение
11
11
11
11
,
BA
BA
CA
CA
y
BA
BA
BC
BC
x
,
причем формулы Крамера дают координаты этой точки.
Если
0
11
BA
BA
, а
0
11
BC
BC
или
0
11
CA
CA
, система несовместна
(прямые параллельны).
Если все три определителя равны нулю, система имеет бесчисленное
множество решений (прямые совпали).
Замечание. Эту же задачу можно решить в иной постановке, решив
систему уравнений
и
11
bxky
. Для ее решения достаточно
приравнять правые части этих уравнений.
Угол между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности
Прямые заданы уравнениями
11
bxky
и
22
bxky
, причем угловые их
коэффициенты не равны нулю, то есть ни одна из них не параллельна оси
абсцисс. Пусть
2211
,
tgktgk
, где
1
и
2
углы между прямыми и осью
OX
. Тогда угол между прямыми определяется формулой
12
,
следовательно,
12
tgtg
, но
21
12
12
1
tgtg
tgtg
tg
. Искомая формула
принимает вид
21
12
1 kk
kk
tg
. 
       Ax  By  C  0 и A1 x  B1 y  C1  0 . Необходимо найти координаты общей
точки этих прямых. Для этого нужно решить систему уравнений

                                          Ax  By  C  0
                                                               .
                                          A1 x  B1 y  C1  0

       Применим метод Крамера. Если основной определитель системы
A      B
            0 , система имеет единственное решение
A1 B1

                                    C B                    A C
                                     C1 B1                 A  C1
                                 x         ,            y 1      ,
                                     A B                     A B
                                      A1 B1                    A1 B1

       причем формулы Крамера дают координаты этой точки.

               A   B            C   B                    A    C
       Если             0, а              0 или                    0 , система несовместна
               A1 B1             C1 B1                   A1  C1
(прямые параллельны).

    Если все три определителя равны нулю, система имеет бесчисленное
множество решений (прямые совпали).

    Замечание. Эту же задачу можно решить в иной постановке, решив
систему уравнений y  kx  b и y  k1 x  b1 . Для ее решения достаточно
приравнять правые части этих уравнений.

Угол между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности

       Прямые заданы уравнениями y  k1 x  b1 и y  k 2 x  b2 , причем угловые их
коэффициенты не равны нулю, то есть ни одна из них не параллельна оси
абсцисс. Пусть k1  tg1 , k 2  tg 2 , где 1 и  2  углы между прямыми и осью
OX .  Тогда угол между прямыми определяется формулой    2  1 ,
                                                         tg 2  tg1
следовательно, tg  tg 2  1  , но tg  2  1                 . Искомая формула
                                                         1  tg1tg 2
принимает вид

                                                     k 2  k1
                                            tg               .
                                                     1  k1k 2


                                                44

Страницы