Математика. Абубакиров Н.Р - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46
Из школьного курса известно общее
уравнение окружности с центром в точке
0 0 0
( ; )M x y
и радиусом
R
2
2
0
2
0
Ryyxx
.
Раскрывая скобки
022
22
0
2
000
22
Ryxyyxxyx
,
убеждаемся, что в самом общем
уравнении окружности не присутствует произведение переменных
xy
.
Можно привести это уравнение к наипростейшему виду, потребовав,
чтобы начало координат совпадало с центром окружности. Тогда
0
00
yx
, и
уравнение принимает вид
222
Ryx
.
Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.
2.Эллипс
Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до
двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.
Из определения следует, что известны две точки – фокусы эллипса
FF ,
1
и
сумма расстояний от точки эллипса до этих точек
. Если за ось
OX
принять
прямую, проходящую через фокусы эллипса, а начало координат поместить в
середину отрезка
FF
1
, то каноническое уравнение эллипса примет вид
1
2
2
2
2
b
y
a
x
.
Поскольку обе переменные во второй степени, эллипс симметричен
относительно обеих координат и расположен между точками
0,a
,
0,a
и
b,0
,
b,0
. Это легко установить, положив в уравнении вначале
0y
, затем
0x
, то есть определив точки пересечения эллипса с осями координат.
Часто
ba 2,2
называют большой и малой осями эллипса, а
ba ,
его
полуосями.
x
y
0 0 0
( ; )M x y
R
O
( ; )M x y
                                                         Из школьного курса известно общее
       y
                                   M ( x; y)       уравнение окружности с центром в точке
                                                   M 0 ( x0 ; y0 ) и радиусом R
                        R
                                                                    x  x0 2   y  y0 2  R 2 .
                 M 0 ( x0 ; y0 )
                                                       Раскрывая скобки

                                               x          x 2  y 2  2 x0 x  2 y0 y  x02  y02  R 2  0 ,
  O
                                     убеждаемся, что в самом                                           общем
уравнении окружности не присутствует произведение переменных xy .

    Можно привести это уравнение к наипростейшему виду, потребовав,
чтобы начало координат совпадало с центром окружности. Тогда x0  y0  0 , и
уравнение принимает вид

                                                   x2  y2  R2 .

      Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.

      2.Эллипс

    Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до
двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

    Из определения следует, что известны две точки – фокусы эллипса F1 , F и
сумма расстояний от точки эллипса до этих точек 2a . Если за ось OX принять
прямую, проходящую через фокусы эллипса, а начало координат поместить в
середину отрезка F1 F , то каноническое уравнение эллипса примет вид

       x2       y2
                     1.
       a2       b2

    Поскольку обе переменные во второй степени, эллипс симметричен
относительно обеих координат и расположен между точками  a , 0 , a , 0 и
0 ,  b , 0 , b . Это легко установить, положив в уравнении вначале                        y  0 , затем
x  0 , то есть определив точки пересечения эллипса с осями координат.

      Часто 2a , 2b называют большой и малой осями эллипса, а a , b  его
полуосями.


                                                     46

Страницы