Математика. Абубакиров Н.Р - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

59
значения чередуются; общий член второй последовательности монотонно
убывает с ростом
n
, оставаясь положительным; общий член третьей
последовательности неограниченно возрастает с ростом
n
.
Число
a
называется пределом последовательности с общим членом
n
a
,
если для любого
0
существует такой номер
()NN
, что для любого
номера
()nN
выполняется неравенство:
||
n
aa

. (В кванторах эта запись
выглядит так:
. В этом случае
используют обозначение:
lim
n
n
aa

Пример. Покажем, что
3
3
( 1) 5
lim 5
n
n
n
n


. В данном случае
3
3
( 1) 5
n
n
n
a
n

. Рассмотрим
3
33
( 1) 5 ( 1)
5
nn
n
n
aa
nn
. Так как
33
( 1)
1
n
nn
и
3
1
n
при
3
1
n
, то за номер
()N
можно взять целую часть
числа
3
1
. Действительно, для любого номера
()nN
выполняется
неравенство
3
1
n
, и следовательно,
3
3
( 1) 5
5
n
n
n


.
Пределы последовательностей можно находить с помощью программы
Maxima.
Пример. Чтобы найти
3
3
( 1) 5
lim
n
n
n
n


, надо ввести команду
limit(((-1)^n+5*n^3)/n^3,n,inf), а затем нажать клавиши Shift+Enter.
Компьютер выдаст ответ 5.
Предел функции. Свойства пределов
Теперь рассмотрим функции, заданные на таких множествах
X
, к точкам
которых можно как угодно близко подойти, не выходя за пределы
X
. Это
могут быть отрезки, интервалы (конечные или бесконечные), полуинтервалы.
Число
b
называется пределом функции
fx
при
xa
, если
0 0: ,| | ( ),x x a f x b



. 
значения чередуются; общий член второй последовательности монотонно
убывает с ростом n , оставаясь положительным; общий член третьей
последовательности неограниченно возрастает с ростом n .

     Число a называется пределом последовательности с общим членом an ,
если для любого   0 существует такой номер N  N ( ) , что для любого
номера n  N ( ) выполняется неравенство: | an  a |  . (В кванторах эта запись
выглядит       так:                                          
                          0  N   :n, n  N ( ), an  a   .     В   этом   случае
используют обозначение: a  nlim a
                               n

                                                      (1)n  5n3
     Пример.          Покажем,        что        lim
                                                 n
                                                                   5 . В данном случае
                                                           n3
     (1)n  5n3                                          (1)n  5n3      (1)n
an              .    Рассмотрим                 an  a               5  3 . Так как
         n3                                                   n3            n
 (1)n 1        1                1 , то за номер N ( ) можно взять целую часть
            и       при  n  3
  n3     n3    n3
         1
числа 3 . Действительно, для любого номера n  N ( ) выполняется
          
                   1                     (1)n  5n3
неравенство n  3 , и следовательно,                 5   .
                                            n3

    Пределы последовательностей можно находить с помощью программы
Maxima.

                              (1)n  5n3
     Пример. Чтобы найти nlim
                           
                                          , надо ввести команду
                                  n3
   limit(((-1)^n+5*n^3)/n^3,n,inf), а затем нажать клавиши Shift+Enter.
Компьютер выдаст ответ 5.

Предел функции. Свойства пределов

    Теперь рассмотрим функции, заданные на таких множествах X , к точкам
которых можно как угодно близко подойти, не выходя за пределы X . Это
могут быть отрезки, интервалы (конечные или бесконечные), полуинтервалы.

     Число        b называется пределом функции                     f  x  при x  a , если
  0      0:x,| x  a |  ( ),  f  x   b    .
                                                             


                                                   59

Страницы