Математика. Абубакиров Н.Р - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

61
Свойства пределов функций
1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует
из определения предела.
2) Пусть
0
lim
xx
f x b
и
0
lim
xx
g x c
, тогда для любых постоянных
и

справедливо равенство
0
lim ( ( )) .
xx
f x g x b c

3) Пусть
0
lim
xx
f x b
и
0
lim
xx
g x c
, тогда
0
lim ( ( )) .
xx
f x g x b c

4) Пусть
0
lim
xx
f x b
и
0
lim 0
xx
g x c

, тогда
0
lim ( ) .
()
xx
fx
b
g x c
5) Если
f x g x
, то
.
6) Если
h x f x g x
и
00
lim lim
x x x x
h x g x b


, то
0
lim
xx
f x b
. (Теорема о двух полицейских).
§3.2. Первый и второй замечательный пределы. Понятие непрерывности
Первый замечательный предел
Докажем, что справедлива формула:
0
sin
lim 1
x
x
x
.
Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции
sin x
отношение
sin x
x
при
x
, близком к 0, положительно при любом знаке
x
.
Достаточно предположить, что
x
приближается к 0, оставаясь положительным.
В противном случае мы сменим знак
x
, что не повлияет на результат.
Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 
Свойства пределов функций

      1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует
  из определения предела.

       2) Пусть lim f  x   b и lim g  x   c , тогда для любых постоянных
                x x           0  x x               0

   и  справедливо равенство

                 lim ( f  x    g ( x))   b   c.
                 xx0


     3) Пусть lim f  x   b и lim g  x   c , тогда
              x x       0      x x           0


                 lim ( f  x   g ( x))  b  c.
                 xx0


     4) Пусть lim f  x   b и lim g  x   c  0 , тогда
              x x       0      x x           0


                             f  x b
                 lim (
                 x x
                                   ) .
                     0       g ( x) c



            5)        Если f  x   g  x  , то lim f  x   lim g  x  .
                                                  x x    0     x x  0


            6)        Если         h  x  f  x  g  x   и   lim h  x   xlim
                                                                  xx0            x
                                                                                     g  x  b ,   то
                                                                                   0

      lim f  x   b . (Теорема о двух полицейских).
     xx0


   §3.2. Первый и второй замечательный пределы. Понятие непрерывности

Первый замечательный предел

     Докажем, что справедлива формула:

                             sin x
                    lim
                    x0
                                   1.
                               x
    Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции sin x
           sin x
отношение        при x , близком к 0, положительно при любом знаке x .
             x
Достаточно предположить, что x приближается к 0, оставаясь положительным.
В противном случае мы сменим знак x , что не повлияет на результат.
Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса
                                                     61

Страницы