Математика. Абубакиров Н.Р - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

62
1 с углом при вершине, равным
x
. BM – дуга граничной окружности сектора,
A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке
B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.
В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM,
сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место
между площадями этих фигур:
ABM сектABM ABD
S S S


. Имеем
1 1 1
sin , , tg
2 2 2
ABM сектABM ABD
S x S x S x

. Поэтому получаем неравенство
sin tgx x x
. Если мы поделим все части этого неравенства на
sin x
, то в силу
предположения о знаке
x
знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем
1
1
sin cos
x
xx

. А теперь устремим
x
к нулю и применим теорему о двух
полицейских. Мы получим
. Осталось применить свойство 5)
пределов для получения предела обратной величины:
0
sin
lim 1
x
x
x
.
Второй замечательный предел и его следствия
Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным
пределом:
1
0
1
lim 1 , lim 1 , 2,71...
x
x
e e e
x





Равносильность этих формул следует из связи переменных:
1
x
.
Следствия из второго замечательного предела
1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных
формул, мы получим первое следствие второго замечательного предела:
0
ln(1 )
lim 1
t
t
t
. 
1 с углом при вершине, равным x . BM – дуга граничной окружности сектора,
A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке
B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.




      В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM,
сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место
между площадями этих фигур: SABM  SсектABM  SABD . Имеем
          1                  1            1
SABM  sin x, SсектABM  x, SABD  tg x . Поэтому получаем неравенство
          2                  2            2
sin x  x  tg x . Если мы поделим все части этого неравенства на sin x , то в силу
предположения о знаке x знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем
      x       1
1                . А теперь устремим x к нулю и применим теорему о двух
    sin x cos x
                                      x
полицейских. Мы получим lim     x0 sin x
                                           1 . Осталось применить свойство 5)
                                                                sin x
пределов для получения предела обратной величины: lim        x0 x
                                                                       1.

Второй замечательный предел и его следствия

       Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным
   пределом:
                          x                    1
                1                            
        lim 
        x 
             1               e , lim 1    e , e  2,71...
                x                 0


                                                                            1
        Равносильность этих формул следует из связи переменных:             .
                                                                            x
Следствия из второго замечательного предела

    1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных
формул, мы получим первое следствие второго замечательного предела:

            ln(1  t )
     lim
     t 0
                        1.
                t
                                                   62

Страницы