Математика. Абубакиров Н.Р - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

64
другому можно записать свойство непрерывности так:
lim ( ) (lim )
x a x a
f x f x

.
Или так:
( ) 0
lim ( ( ) ( )) 0
xa
f x f a


Свойство непрерывности функций передается суперпозиции этих
функций: если
()y f x
непрерывна в точке
a
, а функция
()z g y
непрерывна
в точке
()b f a
, то функция
( ) ( ( ))z h x g f x
непрерывна в точке
a
.
Функция, непрерывная в каждой точке множества
, называется
непрерывной на множестве
X
. График непрерывной функции представляет
собой непрерывную кривую. Все известные из школьного математического
курса функции непрерывны в областях, где они заданы: многочлены,
x
e
,
ln x
при
0x
,
sin x
,
cosx
,
tg x
при
,
2
x k k Z
,
ctg x
при
,x k k Z

.
Пример разрывной функции – функция
1,
1,
если 0,
signum( ) 0, если 0,
если 0.
x
y x x
x
Эта функция разрывна в точке
0x
. Действительно, если подходить к
точке
0x
слева, то значения функции в как угодно близких к нулю точках
равны -1, поэтому предел функции слева тоже равен -1. Если же подходить к
точке
0x
справа, то значения в близких к нулю точках равны 1, поэтому
предел справа тоже равен 1. Значение же функции в точке 0 не совпадает ни с
правым, ни с левым пределом. Приведенный пример точки разрыва – точка
разрыва первого рода.
Точкой разрыва второго рода функции
()fx
называется такая
предельная точка множества
X
, на котором задана функция, что хотя бы один 
другому можно записать свойство непрерывности так: lim
                                                   xa
                                                       f ( x)  f (lim
                                                                   xa
                                                                       x) .
Или так:     lim ( f ( x)  f (a))  0
           ( xa )0

    Свойство непрерывности функций передается суперпозиции этих
функций: если y  f ( x) непрерывна в точке a , а функция z  g ( y) непрерывна
в точке b  f (a) , то функция z  h( x)  g ( f ( x)) непрерывна в точке a .

    Функция, непрерывная в каждой точке множества X , называется
непрерывной на множестве X . График непрерывной функции представляет
собой непрерывную кривую. Все известные из школьного математического
курса функции непрерывны в областях, где они заданы: многочлены, e x , ln x
                                           
при x  0 , sin x , cos x , tg x при x          k , k  Z , ctg x при x   k , k  Z .
                                           2



                                                           1, если x  0,
                                                          
       Пример разрывной функции – функция y  signum(x)   0, если x  0,
                                                          1, если x  0.
                                                          




    Эта функция разрывна в точке x  0 . Действительно, если подходить к
точке x  0 слева, то значения функции в как угодно близких к нулю точках
равны -1, поэтому предел функции слева тоже равен -1. Если же подходить к
точке x  0 справа, то значения в близких к нулю точках равны 1, поэтому
предел справа тоже равен 1. Значение же функции в точке 0 не совпадает ни с
правым, ни с левым пределом. Приведенный пример точки разрыва – точка
разрыва первого рода.

        Точкой разрыва второго рода функции f ( x) называется такая
предельная точка множества X , на котором задана функция, что хотя бы один
                                                64

Страницы