Математика. Абубакиров Н.Р - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66
Функция
()fx
называется дифференцируемой в точке
a
, если существует
такая константа
A
, что
f A x
 
при достаточно малых значениях
x
, где
– величина более высокого порядка малости по сравнению с
x
.
Из определения следует, что функция, дифференцируемая в точке,
является непрерывной в этой точке. Более того, следует, что величина
x
не
может быть величиной большего порядка малости, чем
f
, в противном случае
величина
была бы не константой, а бесконечной величиной.
В случае дифференцируемости функции в точке соответствующая
константа
A
имеет свое название: она называется производной функции
()fx
в
точке
a
и обозначается
()fa
. Из определения также очевидно, что
производная определяется с помощью предельного перехода следующим
образом:
0
( ) ( )
( ) lim lim
x x a
f f x f a
fa
x x a



.
Примеры получения производных
Применяя замечательные пределы и их следствия, получим
0
2sin cos
sin sin
22
1. sin lim lim
sin
2
lim limcos cos ;
2
2
x a x a
x a x a
x a x a
xa
a
x a x a
xa
xa
a
xa

 



0
2sin sin
cos cos
22
2. cos lim lim
sin
2
lim limsin sin ;
2
2
x a x a
x a x a
x a x a
xa
a
x a x a
xa
xa
a
xa

 



3.
|
0
( 1) ( 1)
( ) lim lim lim
x a a x a x a
x a a
a
x a x a x a
e e e e e
e e e
x a x a x a

 
; 
    Функция f ( x) называется дифференцируемой в точке a , если существует
такая константа A , что f  Ax   при достаточно малых значениях x , где
 – величина более высокого порядка малости по сравнению с x .
    Из определения следует, что функция, дифференцируемая в точке,
является непрерывной в этой точке. Более того, следует, что величина x не
может быть величиной большего порядка малости, чем f , в противном случае
величина A была бы не константой, а бесконечной величиной.

    В случае дифференцируемости функции в точке соответствующая
константа A имеет свое название: она называется производной функции f ( x) в
точке a и обозначается f (a) . Из определения также очевидно, что
производная определяется с помощью предельного перехода следующим
образом:

                                                   f        f ( x )  f (a )
                                  f (a)  lim        lim                   .
                                             x0   x   x a      xa
Примеры получения производных

    Применяя замечательные пределы и их следствия, получим
                                                 xa       xa
                       sin x  sin a        2sin      cos
     1. sin a  lim                  lim        2         2 
                  x a     xa         x a        xa
                     xa
                sin
        xlim          2 lim cos x  a  cos a;
           a 0 x  a x  a          2
                     2
                                                          xa       xa
                     cos x  cos a            2sin            sin
    2. cos a  lim                 lim                   2         2 
                x a     xa         x a                  xa
                     xa
                 sin
        xlim         2 limsin x  a   sin a;
            a 0 x  a xa         2
                     2

                         e x  ea       ea (e xa 1) a         (e xa 1) a
    3. (e x )|a  lim             lim               e   lim            e ;
                   xa    x  a xa x  a                x a0    xa




                                                     66

Страницы