Математика. Абубакиров Н.Р - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

67
0
;
ln ln(1 ) ln(1 )
ln ln 1
4. ln lim lim lim lim
1
x a x a x a x a
x x a x a
xa
a a a
a
xa
x a x a x a a
a
a
 


|
11
0
5.
( ) 1 ( 1) 1
( ) lim lim lim
( 1) 1
lim .
a
x a x a x a
xa
x x a
xa
aa
x a a
x a x a x a
xa
a
aa
xa
a







Производные и арифметические операции над функциями
Из условия дифференцируемости и из свойств пределов функций следуют
свойства производных.
1. Пусть функции
()fx
и
()gx
дифференцируемы в точке
a
. Тогда
функция
( ) ( )f x g x
дифференцируема в точке
a
, причем
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x
.
2. Пусть функция
дифференцируема в точке
a
,
Rk
. Тогда
функция
()k f x
дифференцируема в точке
a
, причем
( ( )) ( )k f x k f x

.
3. Пусть функции
()fx
и
()gx
дифференцируемы в точке
a
. Тогда
функция
( ) ( )f x g x
дифференцируема в точке
a
, причем
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x
.
4. Пусть функции
и
()gx
дифференцируемы в точке
a
,
( ) 0ga
.
Тогда функция
()
()
fx
gx
дифференцируема в точке
a
, причем
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
()
()
f x f x g x f x g x
gx
gx


.
Покажем, как доказывается свойство 3. Обозначим
( ) ( ) ( )h x f x g x
.
Имеем
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ),
h f x g x f a g a f x f a g x f a g x g a
f g x g f a f a x g x g a x f a
f a x g a g g a x f a




                                             x                xa                   xa
                       ln x  ln a        ln           ln(1      ) 1        ln(1      )
       4. ln a  lim               lim     a   lim          a    xlim            a    
                  x a    xa        x a x  a   x a     xa      a  a 0     xa
                                                                                   a
            1
           ;
            a

                              x
                                  a           ( x ) 1           ( x  a 1) 1
         5. ( x )|a  lim
                         x a x  a
                                        a lim   a
                                            x a x  a
                                                           a lim      a           
                                                               x a       xa
                            ( x  a 1) 1
            a 1 lim          a              a 1.
                     x a0       xa
                                    a
       Производные и арифметические операции над функциями

    Из условия дифференцируемости и из свойств пределов функций следуют
свойства производных.

       1. Пусть функции                    f ( x) и g ( x) дифференцируемы в точке a . Тогда
функция f ( x)  g ( x) дифференцируема в точке a , причем
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g( x) .

    2. Пусть функция f ( x) дифференцируема в точке a , k  R . Тогда
функция k  f ( x) дифференцируема в точке a , причем (k  f ( x))  k  f ( x) .

       3. Пусть функции                       f ( x) и g ( x) дифференцируемы в точке a . Тогда
функция f ( x)  g ( x) дифференцируема в точке a , причем
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) .

       4. Пусть функции f ( x) и g ( x) дифференцируемы в точке a , g (a)  0 .
                         f ( x)
Тогда функция                     дифференцируема в точке a , причем
                         g ( x)
  f ( x)      f ( x)  g ( x)  f ( x) g ( x)
(        )                                    .
  g ( x)                   g 2 ( x)

       Покажем, как доказывается свойство 3. Обозначим h( x)  f ( x)  g ( x) .
Имеем
          h  f ( x)  g ( x)  f (a)  g (a)  ( f ( x)  f (a))  g ( x)  f (a) ( g ( x)  g (a)) 
           f  g ( x)  g  f (a)  ( f (a)x   )  g ( x)  ( g (a) x   )  f (a) 
           ( f (a)x   )  ( g (a)  g )  ( g (a) x   )  f (a),
                                                              67

Страницы