Математика. Абубакиров Н.Р - 69 стр.

формулу легко получить из формулы производной суперпозиции, учитывая,
что x  g ( f ( x)) . Для переменной точки формула производной обратной
                                        1
функции выглядит так: g ( y)                  .
                                   f ( g ( y))

Производные обратных тригонометрических функций
                          1            1
    1. arcsin x                          ;
                     cos(arcsin x)   1  x2

                             1            1
    2. arccos x                           ;
                       sin(arccos x)    1  x2

                                             1           1
    3. arctg x  cos2 (arctg x)                           ;
                                     1  tg (arctg x) 1  x2
                                           2



                                                    1               1
    4. arcctg x   sin 2 (arcctg x)                                .
                                           1  ctg (arcctg x)
                                                 2
                                                                 1  x2

    Производная любой сложной функции легко вычисляется при помощи
программы Maxima. Для этого следует ввести команду diff, а затем в скобках
через запятую саму функцию и переменную дифференцирования.

     Пример. Найти производную функции arctg(ex  sin(ln5x)) . Нам следует
                                                                 3


учесть, что американцы записывают некоторые функции не так, как принято у
нас. Так, функция арктангенс записывается как atan, рассматриваются только
натуральные логарифмы (log). Напомним, что перед определенными
постоянными (например, e, ) ставят знак %.

     Поэтому введем команду diff(atan(%e^(x^3)+sin(log(5*x))),x) После того,
как мы нажмем клавиши Shift+Enter, мы получим нужный ответ.

Физический и геометрический смысл производной
                                                                S
    Вспомним определение скорости равномерного движения: V        –
                                                                t
отношение длины пути к времени, затраченному на этот путь. Если движение
неравномерное, то приведенная формула будет давать значение средней
                                           S
скорости за данный временной период: Vср     .
                                           t
    Если мы хотим узнать скорость в какой-то момент, мы можем
воспользоваться предыдущей формулой для средней скорости за временной
                                                69