Математика. Абубакиров Н.Р - 71 стр.

      Аналитически это свойство можно записать в виде равенства:
         f (b)  f (a)
f (c)                .
             ba
     Эта формула в несколько ином виде f (b)  f (a)  f (a   (b  a))  (b  a) ,
где   (0,1) , называется формулой конечных приращений.

      Обобщением формулы конечных приращений является теорема
Коши: для двух дифференцируемых на интервале (a, b) функций f ( x) и g ( x)
(не постоянной) существует хотя бы одна точка c внутри интервала (a, b) ,
             f (b)  f (a) f (c)
такая, что                       .
             g (b)  g (a) g (c)

Дифференциал и его приложения

      Вспомним формулу приращения функции, дифференцируемой в точке a :
f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a)   , где  – величина высшего порядка малости по
сравнению с приращением аргумента ( x  a) .



    Главная часть приращения функции – слагаемое f (a)  ( x  a) – называется
дифференциалом функции f ( x) в точке a и обозначается df (a) . То есть,

                               df (a)  f (a) x .

    Таким образом, f  df   . Для функции f ( x)  x имеем dx  x , поэтому
стандартная формула для дифференциала от переменной точки имеет вид

                                  df ( x)  f ( x)  dx .

    Поскольку при малых приращениях аргумента слагаемое  , входящее в
выражение приращения функции, еще более малое, при приближенных

                                               71