Математика. Абубакиров Н.Р - 73 стр.

                                                              0
      Доказательство (для неопределенности                      ). Поскольку f (a)  g (a)  0 , из
                                                              0
теоремы Коши имеем
     f x          f x   f a         f c         f c        f x 
lim           lim                    lim          lim           lim          .
x a g  x    x a g  x   g a    xa g c    c a g c    xa g  x 


  Здесь использовалось, что c находится между a и x , следовательно, при
xa и c a.

                               x 2  3x  2  0         2x  3 1
      Примеры. 1) lim                            lim        .
                        x 2      x2  4      0  x 2 2 x     4

                            sin x  0     cos x
                     2) lim          lim       1                  (первый        замечательный
                         x0 x
                                   0
                                        x0 1
предел).

    2. Необходимое условие возрастания (убывания) функции на интервале:
Если функция y  f x  , имеющая производную на интервале (a, b) , возрастает
(убывает) на этом интервале, то ее производная f x   0 ( f x   0 ) на этом
отрезке.       Доказательство            следует         из      формулы        для    производной
                   f ( x0  x)  f ( x0 )
 f ( x0 )  lim                           , где знаки числителя и знаменателя совпадают
           x0              x
(противоположны), а при предельном переходе знак неравенства становится
нестрогим.

    3. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале:
Если функция y  f x  непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
интервале (a, b) , причем f x   0 ( f x   0 ) для a  x  b , то эта функция
возрастает (убывает) на этом отрезке.

      Доказательство легко получается применением формулы конечных
приращений
 f (b)  f (a)  f (a   (b  a))  (b  a) . Y




      Функция y  f x  в точке x1 имеет
максимум, если для всех x из некоторой  -
окрестности    точки      x1   выполняется                         0                        X


                                                    73