Математика. Абубакиров Н.Р - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72
вычислениях часто заменяют приращение функции ее дифференциалом в
соответствующей точке, то есть
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f a x a df a
при малых
()xa
.
Приведем пример применения дифференциала для приближенных
вычислений. Вычислим
3
9
. Целого числа, куб которого равен 9, не
существует, но существует близкое к 9 число 8, кубический корень которого
равен 2. Если в нашем случае
3
()f x x
, то
2/3
1
()
3
fx
x
.
Согласно формуле замены приращения дифференциалом
33
2/3
1
()
3
x a x a
a
. В нашем случае
9, 8xa
. Следовательно,
3
11
9 2 2
3 4 12
.
Замена приращения функции дифференциалом называют первым
приближением. Это самое грубое приближение. Формула для первого
приближения:
.
§3.4. Приложения производной, производные высших порядков
1. Применение производных для вычисления пределов (правило Лопиталя).
(Правило раскрытия неопределенностей
0
0
и
).
Пусть требуется вычислить предел
xg
xf
ax
lim
, причем функции в числителе
и знаменателе дифференцируемы в окрестности точки
a
и обе одновременно
стремятся к 0 или к
при
xa
, тогда если существует предел
lim
xa
fx
gx
,
возможно, равный бесконечности, то
xg
xf
xg
xf
axax
limlim
. 
вычислениях часто заменяют приращение функции ее дифференциалом в
соответствующей точке, то есть
                       f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a)  df (a)

при малых ( x  a) .

     Приведем пример применения дифференциала для приближенных
вычислений. Вычислим 3 9 . Целого числа, куб которого равен 9, не
существует, но существует близкое к 9 число 8, кубический корень которого
                                                             1
равен 2. Если в нашем случае f ( x)  3 x , то f ( x)           .
                                                         3  x2/3

       Согласно формуле замены приращения дифференциалом
               1
3
  x3a              ( x  a) . В нашем случае x  9, a  8 . Следовательно,
           3  a 2/3
          1          1
3
  9  2       2 .
         3 4      12
     Замена приращения функции дифференциалом называют первым
приближением. Это самое грубое приближение. Формула для первого
приближения:

                          f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a) .

           §3.4. Приложения производной, производные высших порядков

    1. Применение производных для вычисления пределов (правило Лопиталя).
                                      0 
(Правило раскрытия неопределенностей и ).
                                      0 

                                       f x 
     Пусть требуется вычислить предел lim      , причем функции в числителе
                                   xa g  x 

и знаменателе дифференцируемы в окрестности точки a и обе одновременно
                                                                                  f  x
стремятся к 0 или к  при x  a , тогда если существует предел lim                        ,
                                                               x a               g x 
                                                         f x        f x 
возможно, равный бесконечности, то                lim            lim         .
                                                  x a   g x  xa g x 




                                                  72

Страницы