Математика. Абубакиров Н.Р - 70 стр.

участок, содержащий интересующий нас момент, но при этом для получения
точного результата мы обязаны длину временного участка устремить к нулю.
                                S         S (t0  t )  S (t0 )
Следовательно, V (t0 )  lim
                           t 0 t
                                    lim                           S (t0 ) .
                                     t 0          t
     Таким образом, скорость – это производная пути по времени.

     Рассмотрим график функции      y  f ( x) , дифференцируемой в точке a .
Рассмотрим множество прямых, проходящих через точку с декартовыми
координатами (a, f (a)) . Уравнение каждой из этих прямых имеет вид
y  f (a)  k ( x  a) . Меняя угловой коэффициент k , мы меняем прямую.
Поставим целью среди этого пучка прямых выбрать ту, которая проходит
наиболее близко к нашему графику y  f ( x) в окрестности точки (a, f (a)) . В
силу дифференцируемости f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a)     при x , близких к a .
Нетрудно видеть, что если мы выберем k  f (a) , то ордината соответствующей
прямой будет отличаться от ординаты кривой y  f ( x) при x , близких к a , на
 – величину более высокого порядка малости, чем ( x  a) . Такая прямая
называется касательной к кривой y  f ( x) .

       Следовательно, f (a) – угловой коэффициент (тангенс угла наклона)
касательной к кривой y  f ( x) в точке с абсциссой a . Это и есть
геометрический смысл производной.




       Справедливо еще одно геометрическое свойство кривых y  f ( x) ,
имеющих непрерывно изменяющийся угол наклона касательной внутри отрезка
[a, b] : существует хотя бы одна точка c внутри интервала (a, b) , такая, что
производная в этой точке равна угловому коэффициенту хорды, стягивающей
концы кривой. На рисунке это выглядит так:




                                           70