Математика. Абубакиров Н.Р - 68 стр.

    где  и  – величины более высокого порядка малости, чем x .
Раскрывая скобки и собирая коэффициенты при x , получим следующее
представление:


h  ( f (a)  g (a)  g (a)  f (a)) x  f (a) x g    g (a)   g    f (a) 
 ( f (a)  g (a)  g (a)  f (a)) x   ,

     где  – величина более высокого порядка малости, чем x . В соответствии
с условием дифференцируемости и выражением производной свойство 3
доказано.

Производная суперпозиции

     Пусть функция y  f ( x) дифференцируема в точке a, f (a)  b. Пусть
функция       z  g ( y) дифференцируема в точке b . Тогда функция
z  h( x)  g ( f ( x)) дифференцируема в точке a , причем

      h(a)  g(b)  f (a) .

     Докажем это свойство. Имеем в соответствии с определением
дифференцируемости h  g ( f ( x))  g ( f (a))  g ( y)  g (b)  g (b)y   , где  –
величина более высокого порядка малости, чем y  y  b  f ( x)  f (a) . В свою
очередь, y  f  f (a)x   , где  – величина более высокого порядка
малости, чем x . Следовательно,
h  g(b)  ( f (a) x   )    g(b)  f (a) x  g(b)    . Легко показать, что
g(b)    – величина более высокого порядка малости, чем x . Таким
образом, формула доказана.

          В качестве примера найдем производную функции ln | x | . Поскольку
          1
ln | x | ln x2 , имеем согласно формуле производной суперпозиции
          2
               1           1
(ln | x |)          2x  .
              2 x 2
                           x

Производная обратной функции

     Пусть g ( y) – функция, обратная к функции f ( x) , то есть, x  g ( f ( x)) .
Можно показать, что если f ( x) дифференцируема в точке a , f (a)  0 , то
                                                                1
g ( y) дифференцируема в точке b  f (a) . При этом g (b)         . Последнюю
                                                             f (a)
                                                  68