Математика. Абубакиров Н.Р - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

63
2. Другим следствие второго замечательного предела является предел,
получаемый из предыдущего заменой
ln(1 )zt
:
0
1
lim 1
z
z
e
z
.
3. Рассмотрим теперь предел
0
(1 ) 1
lim
x
x
x

. Сделаем замену
(1 )
z
xe

.
При такой замене
0x
тогда и только тогда, когда
0z
. Получим
//
0 0 0 0
(1 ) 1 1 1 /
lim lim lim lim
11
zz
zz
x z z z
x e e z
xz
ee



Вычисление пределов
Вычисление пределов функции в точке можно сводить в использованию
свойств пределов, замечательных пределов и следствий из них.
Примеры 1)
5
52
55
33
5
5
55
3 1 3 1
(1 ) lim(1 )
3 1 1
lim lim
77
2
27
2 (1 ) 2 lim(1 )
x
xx
x
x
xx
xx
xx
x
x
xx

 



.
2)
Подсчитаем эти же пределы на Maxime. Для первого примера вводим
команду limit((x^5+3*x^2-1)/(2*x^5+7),x,inf), а затем нажимаем клавиши
Shift+Enter. Компьютер выдает ответ
1
2
. Для второго примера вводим команду
limit((sin(4*x))^2/(%e^(x^2)-1),x,0) и нажимаем клавиши Shift+Enter.
Компьютер выдает ответ 16.
Непрерывность функции в точке
Пусть функция
()y f x
задана на множестве
RX
и
aX
. Если
lim ( ) ( )
xa
f x f a
, то говорят, что эта функция непрерывна в точке
a
. По-
    2. Другим следствие второго замечательного предела является предел,
получаемый из предыдущего заменой z  ln(1 t ) :

              e z 1
     lim
     z 0
                      1.
                 z

                                     (1  x) 1
    3. Рассмотрим теперь предел lim
                                x0
                                                 . Сделаем замену (1 x)  e z .
                                           x
При такой замене x  0 тогда и только тогда, когда z  0 . Получим

                   (1  x) 1         e z 1         e z 1       z /
             lim                lim        
                                                 lim         lim        
             x0         x       z 0 e z /
                                              1 z0 z z0 e / 1 z




Вычисление пределов

    Вычисление пределов функции в точке можно сводить в использованию
свойств пределов, замечательных пределов и следствий из них.

                                    x5 (1 33  15 ) xlim(1    3  1)
                   x  3 x 1    5      2
                                           x x               x3 x5  1 .
    Примеры 1) lim
               x 2 x5  7
                               lim
                                x
                                     2 x5 (1 75 )      2 xlim(1
                                                            
                                                                  7)
                                                                     5
                                                                        2
                                              x                    x


    2)
                                                               (lim sin 4 x )2 16
         2                   2              2                           2
   sin 4 x        sin 4 x (4 x)          sin 4 x 2       (4 x)
lim x2      lim(              )  lim(        )  lim x2  x0 4 xx2              16
x0 e 1     x0 (4 x)2 e x2 1     x0    4x       x 0 e 1         e     1
                                                                  lim 2
                                                                  x0 x


    Подсчитаем эти же пределы на Maxime. Для первого примера вводим
команду limit((x^5+3*x^2-1)/(2*x^5+7),x,inf), а затем нажимаем клавиши
                                                  1
Shift+Enter. Компьютер выдает ответ                 . Для второго примера вводим команду
                                                  2
limit((sin(4*x))^2/(%e^(x^2)-1),x,0) и нажимаем клавиши Shift+Enter.
Компьютер выдает ответ 16.

Непрерывность функции в точке

         Пусть функция y  f ( x) задана на множестве X  R и a  X . Если
lim
xa
    f ( x)  f (a) , то говорят, что эта функция непрерывна в точке a . По-

                                                    63

Страницы