Математика. Абубакиров Н.Р - 76 стр.

    Из графика видно, что критическая точка x  0 не является точкой
локального экстремума, в то время как критическая точка x  3 является точкой
минимума.

    Как применяется производная для решения реальных, а не сугубо
математических задач, демонстрирует следующий

    Пример. У слесаря есть жестяной диск. Какой сектор следует вырезать из
этого диска, чтобы из оставшейся части диска можно было свернуть воронку
наибольшей вместимости?




    Очевидно, что сектор определяется углом при вершине. Обозначим этот
угол  . Известно, что объем конуса (воронки) равен, в соответствии с
                                 1
введенными обозначениями, V   r 2 R2  r 2 . Выразим через  радиус
                                 3
основания конуса r , сравнив площадь оставшейся части диска и площадь
боковой поверхности конуса. Площадь оставшейся части диска равна
    2  
R2          . Площадь боковой поверхности конуса равна  Rr . Из соотношения
        2
    2                              2  
R2            Rr получим r  R             . Следовательно,
        2                               2
          1     2   2         2  2
V ( )   R3 (          ) 1 (         ) . Вследствие громоздкости полученного
          3       2               2
                                                    2  
выражения перейдем к новой переменной t                   . Теперь
                                                      2
        1
V (t )   R3t 2 1 t 2 , 0  t  1. Найдем критическую точку этой функции на
         3
отрезке [0,1], например, с помощью программы Maxima. Отметим, что именно
она является точкой максимума, так как на концах отрезка функция обращается


                                       76