Математика. Абубакиров Н.Р - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

77
в нуль. Критической точкой является
0
2
3
t
. Следовательно, угол при
вершине сектора, который нужно вырезать, равен
0
2
2 (1 )
3

.
Производные высших порядков
Для получения приближений функций, более точных, чем первое
приближение, применяются производные высших порядков.
Производной второго порядка называют производную от производной.
Например, раз
(sin ) cos , то (sin ) (cos ) sinx x x x x
. Аналогично можно
найти производную любого порядка произвольной функции. Обозначается
порядок производной (выше, чем 3) с помощью маленькой цифры, стоящей, как
степень, чуть выше функции. В отличие от степени порядок производной
обязательно берется в круглые скобки. Так, выражение
(5)
(ln )x
означает
производную пятого порядка функции
ln x
.
Поскольку получение производных высших порядков от сложных функций
– дело трудоемкое, целесообразно проводить эту операцию с помощью
программы Maxima. Используется та же команда diff. В скобках после команды
ставятся функция, переменное и на последнее место (после запятой) – порядок
производной. Например, необходимо найти
2
(7)
()
x
xe
. Мы водим команду
diff(x*%e^(x^2),x,7), нажимаем клавиши Shift+Enter и получаем ответ:
2 2 2 2 2
8 6 4 2
128 +1792 +6720 +6720 +840
x x x x x
x e x e x e x e e
.
Применение производных высших порядков
Мы рассматривали возможность получить приближенное значение
функции в точке
x
с помощью известных значений самой функции и ее первой
производной в близкой к
точке
a
с помощью формулы первого
приближения:
( ) ( ) ( ) ( ).f x f a f a x a
Для того, чтобы получить более точные значения, используются формулы,
содержащие производные высших порядков:
()
2
( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) ( )
( ) ... ( )
2! !
n
n
f x f a f a x a
f a f a
x a x a
n

Здесь ! 1 2 3 4 ... .nn  
                                        2
в нуль. Критической точкой является t0   . Следовательно, угол при
                                        3
вершине сектора, который нужно вырезать, равен 0  2 (1 ) .
                                                            2
                                                            3
Производные высших порядков

    Для получения приближений функций, более точных, чем первое
приближение, применяются производные высших порядков.

    Производной второго порядка называют производную от производной.
Например, раз (sin x)  cos x, то (sin x)  (cos x)   sin x . Аналогично можно
найти производную любого порядка произвольной функции. Обозначается
порядок производной (выше, чем 3) с помощью маленькой цифры, стоящей, как
степень, чуть выше функции. В отличие от степени порядок производной
обязательно берется в круглые скобки. Так, выражение (ln x)(5) означает
производную пятого порядка функции ln x .

     Поскольку получение производных высших порядков от сложных функций
– дело трудоемкое, целесообразно проводить эту операцию с помощью
программы Maxima. Используется та же команда diff. В скобках после команды
ставятся функция, переменное и на последнее место (после запятой) – порядок
                                                               2
производной. Например, необходимо найти ( xe x )(7) . Мы водим команду
diff(x*%e^(x^2),x,7), нажимаем клавиши Shift+Enter и получаем ответ:
        2              2               2               2           2
128x8ex +1792x6ex +6720x4ex +6720x2ex +840ex .
Применение производных высших порядков

    Мы рассматривали возможность получить приближенное значение
функции в точке x с помощью известных значений самой функции и ее первой
производной в близкой к x точке a с помощью формулы первого
приближения: f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a).

    Для того, чтобы получить более точные значения, используются формулы,
содержащие производные высших порядков:

                                          f (a)                  f (n) (a)
     f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a)          ( x  a)  ... 
                                                          2
                                                                             ( x  a)n.
                                             2!                       n!
     Здесь n!  1 2  3 4  ... n.


                                                  77

Страницы