Математика. Абубакиров Н.Р - 79 стр.

     Дифференцируемость функции двух переменных f ( x, y) в некоторой
точке означает, что приращение функции в этой точке отличается от некоторой
линейной комбинации приращений каждой из переменных на величину
большего порядка малости, чем приращение каждой переменной:

     f  Ax  By   .

    Числа A и B, участвующие в условии дифференцируемости, называются
частными производными первого порядка и обозначаются
             f             f
A  f x       , B  f y  .
             x             y

    Взять частную производную, например, по переменной x – это значит,
считая y постоянной, рассматривать исходную функцию как функцию одной
переменной x и взять производную от функции по этой переменной.

                                                        f
      П р и м е р. Пусть f ( x, y)  x2 y3, тогда           2xy3, f  3x2 y2.
                                                        x         y

    При исследовании функций нескольких переменных приходится брать
производные высших порядков по различным переменным. Например, символ
 3 f
       означает, что у функции взята производная по переменной y и от нее –
x 2y
                                                                       2 .
дважды производная по x . Эта же производная может быть записана как f yx
Такие производные можно также брать с применением программы Maxima.
При дифференцировании функции по нескольким переменным используется
команда diff, за ней в скобках записывается функция, а дальше через запятые
все переменные, по которым берутся производные, и после каждой переменной
– через запятую– порядок производной. Например, мы хотим взять
                   5 f
производную                , где f ( x, y)  sin( x2  3 y) . Мы вводим команду
                  x 2y 3
diff(sin(x^2+3*y),x,2,y,3), нажимаем клавиши Shift+Enter и получаем
54sin(3y  x2 )+108x2cos(3y  x2 ) .

    Так же, как в случае функций одной переменной, частные производные
функций нескольких переменных служат для нахождения локальных
экстремумов, то есть таких точек, в которых значение функции является
наибольшим или наименьшим в некоторой окрестности точки.



                                              79