Математика. Абубакиров Н.Р - 81 стр.

Метод наименьших квадратов

     Поиск локальных экстремумов функции двух переменных активно
применяется в задаче о проведении прямой линии, наиболее близкой к n
заданным точкам на плоскости. Известно, что через одну точку можно
провести бесчисленное множество прямых, через две точки – единственную
прямую. Через произвольные 3 точки прямую провести нельзя. Тем более,
через 5 точек. Но представим, что проведены замеры в 5 точках (x=1, x=2, x=3,
x=4, x=5). Значения, полученные при замерах, соответственно, равны: y=1, y=1,
y=2, y=5, y=6.

    Нанесем результаты наблюдений на плоскость. Мы видим, что если
соединить точки последовательно, полученная линия будет близка к прямой.




    Учитывая, что замеры производятся неточно, мы хотим нарисовать
приближенный график линейной зависимости y от x . Не существует прямой,
проходящей через пять полученных на плоскости точек, но можно постараться
провести прямую максимально близко к полученным точкам.

     Уравнение прямой на плоскости y  Ax  B зависит от двух параметров A
и B. Нужно подобрать их так, чтобы при значениях x, равных 1, 2, 3, 4 и 5,
значения Ax  B мало отличались от 1, 1, 2, 5 и 6, соответственно. Это значит,
что нужно подобрать такие A и B, чтобы значение функции

     F ( A, B)  ( A1 B 1)2  ( A 2  B 1)2  ( A 3  B  2)2  ( A 4  B  5)2  ( A 5  B  6)2
было минимальным. Это значит, должно выполняться необходимое условие



                                               81